易懂案例：用班费记账来理解区块链对称加密、Diffie-Hellman密钥交换协议、循环群是什么？其原理、数学逻辑、优缺点、区别和联系是什么？

用班费记账理解区块链对称加密、Diffie-Hellman与循环群

在班级班费管理的加密场景中，对称加密、Diffie-Hellman（DH）密钥交换协议和循环群如同三个紧密协作的“安全工具”：循环群是底层数学框架，如同加密规则的“基础坐标系”；DH协议基于循环群实现密钥协商，如同“隔空传钥匙的方法”；对称加密则利用协商的密钥保护数据，如同“用钥匙锁账本”。以下通过班费场景拆解三者的原理、逻辑及关联。

一、循环群：加密规则的“基础坐标系”

1. 场景引入：班级“密码运算表”

班委设计了一套加密规则：所有班费金额（1-20元）的运算都在“模7”系统内进行（即结果只保留除以7的余数）。例如：

• 3+5=8→8 mod7=1（记为3⊕5=1）；
• 3×5=15→15 mod7=1（记为3⊗5=1）。
  这套“运算封闭、有单位元、每个元素有逆元”的系统，就是一个循环群——所有元素都能由某个“生成元”通过反复运算得到（如3是生成元：3¹=3，3²=2，3³=6，3⁴=4，3⁵=5，3⁶=1，涵盖1-6所有数）。

2. 核心原理：群的四要素与循环性

循环群是一种满足特定规则的数学集合（记为G），核心要素包括：

• 封闭性：任意a,b∈G，运算a·b的结果仍在G中（如模7乘法中，3×5=15 mod7=1∈{1-6}）；
• 结合律：(a·b)·c = a·(b·c)（如(2×3)×4=2×(3×4) mod7）；
• 单位元：存在e∈G，对任意a∈G有a·e = e·a = a（模7乘法中e=1，因a×1=a）；
• 逆元：任意a∈G，存在b∈G使a·b = b·a = e（如3的逆元是5，因3×5=1 mod7）；