fleury算法,欧拉回路,欧拉路径

本文介绍了两种求解欧拉回路的方法:DFS搜索和Fleury算法。DFS搜索利用欧拉定理选择合适的起始顶点并遍历所有边。Fleury算法通过避免选择成为割边的边来构造欧拉回路。

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欧拉回路的求解
欧拉回路的求解主要有两种方法:DFS 搜索及Fleury(佛罗莱)算法。本节分别介绍这两种方法。
DFS 搜索求解欧拉回路

用DFS 搜索思想求解欧拉回路的思路为:利用欧拉定理判断出一个图存在欧拉通路或回路后,选择一个正确的起始顶点,用DFS 算法遍历所有的边(每条边只遍历一次),遇到走不通就回退。在搜索前进方向上将遍历过的边按顺序记录下来。这组边的排列就组成了一条欧拉通路或回路。

Fleury(佛罗莱)算法

1. Fleury(佛罗莱)算法
设G 为一无向欧拉图,求G 中一条欧拉回路的算法为:
1) 任取G 中一顶点v0,令P0 = v0;
2) 假设沿Pi = v0e1v1e2v2 …eivi 走到顶点vi,按下面方法从E(G) - { e1, e2, …, ei }中选ei+1:
a) ei+1 与vi 相关联;
b) 除非无别的边可供选择,否则ei+1 不应该是Gi = G - { e1, e2, …, ei }中的桥。
3) 当2)不能再进行时算法停止。
可以证明的是,当算法停止时,所得到的简单回路Pm = v0e1v1e2v2 …emvm, (vm = v0)为G 中一条
欧拉回路。
2. 桥
设无向图G(V, E)为连通图,若边集E1⊆E,在图G 中删除E1 中所有的边后得到的子图是不连
通的,而删除了E1 的任一真子集后得到的子图是连通图,则称E1 是G 的一个割边集。若一条边
构成一个割边集,则称该边为割边,或桥。(第8 章会进一步讨论割边集)


fleury算法例题:


例5.8 用Fleury 算法输出图5.16(a)中的欧拉回路。
假设数据输入时采用如下的格式进行输入:首先输入顶点个数n 和边数m,然后输入每条边,
每条边的数据占一行,格式为:u v,表示从顶点u 到顶点v 的一条有向边。
分析:
在下面的代码中,首先判断是否存在欧拉回路或通路,如果存在则选择一个正确的顶点按照
Fleury 算法输出欧拉回路或通路。

### Fleury算法的实现与应用 #### 1. Fleury算法简介 Fleury算法是一种用于寻找欧拉路径欧拉回路的经典算法。它适用于无向图,能够判断是否存在欧拉路径欧拉回路,并输出具体的路径[^5]。 - **欧拉回路**:如果一个图是连通的,并且每个顶点的度均为偶数,则该图存在欧拉回路。 - **欧拉路径**:如果恰好有两个顶点的度为奇数,则可以从其中一个奇度顶点出发到达另一个奇度顶点形成欧拉路径;其余顶点的度仍需为偶数。 #### 2. Fleury算法的核心思想 Fleury算法的关键在于如何选择当前路径上的下一条边: - 始终优先选择非桥边(bridge),除非没有其他选择。 - 桥边是指删除后会使得图不再连通的边。因此,在可能的情况下应避免移除桥边,以免破坏图的连通性。 #### 3. Python实现Fleury算法 以下是基于Python的一个简单实现示例,展示了如何利用Fleury算法来查找欧拉路径欧拉回路[^4]。 ```python import networkx as nx def fleury_algorithm(graph, start_vertex): """ 使用Fleury算法计算欧拉路径欧拉回路 :param graph: 输入的NetworkX图对象 :param start_vertex: 起始顶点 :return: 返回欧拉路径列表 """ path = [] current_vertex = start_vertex while graph.edges(): neighbors = list(graph.neighbors(current_vertex)) found_next = False for next_vertex in neighbors: # 尝试移除边并检测剩余图是否仍然连通 graph.remove_edge(current_vertex, next_vertex) if nx.is_connected(graph.to_undirected()): path.append((current_vertex, next_vertex)) current_vertex = next_vertex found_next = True break # 如果断开连接则恢复这条边 graph.add_edge(current_vertex, next_vertex) if not found_next: # 若找不到合适的边,则取唯一的一条边(可能是桥) last_neighbor = neighbors[0] path.append((current_vertex, last_neighbor)) graph.remove_edge(current_vertex, last_neighbor) current_vertex = last_neighbor return path # 测试代码 if __name__ == "__main__": G = nx.Graph() edges = [(0, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 3)] G.add_edges_from(edges) euler_path = fleury_algorithm(G, 0) print("欧拉路径:", euler_path) ``` 此代码片段定义了一个`fleury_algorithm`函数,接受输入图为参数,并返回对应的欧拉路径。其中使用了`networkx`库辅助操作图结构及其属性。 --- #### 4. 应用场景 Fleury算法广泛应用于解决实际生活中的各种问题,主要包括但不限于以下几个方面: - **城市规划**:设计公交线路或者垃圾回收路线时可以考虑采用欧拉路径优化行程减少重复经过同一路段的情况[^1]。 - **电路板布线**:电子工程领域内的自动布局工具可能会运用类似的原理确保信号传输效率最大化的同时降低干扰风险。 - **网络爬虫调度策略制定**:合理安排抓取顺序提高资源利用率缩短整体耗时周期。 --- #### 5. 注意事项 尽管Fleury算法功能强大,但在某些特定条件下也可能表现出局限性: - 对大规模稀疏矩阵处理速度较慢; - 需要额外空间存储中间状态信息增加内存消耗。 这些因素决定了在面对超大型复杂网络模型时往往会选择更高效的替代方案比如Hierholzer算法等。 ---
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