【51NOD1135】原根（数论）_求模113的原根-优快云博客

这是一篇关于数论的博客，详细介绍了如何找出一个质数P的最小原根，即找到一个整数a，使得a的阶模P等于欧拉函数φ(P)。博客给出了输入一个质数P后，通过素因子分解方法来判断原根的过程。

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1135 原根
基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题
设m是正整数，a是整数，若a模m的阶等于φ(m)，则称a为模m的一个原根。（其中φ(m)表示m的欧拉函数）
给出1个质数P，找出P最小的原根。
Input

输入1个质数P(3 <= P <= 10^9)

Output

输出P最小的原根。

Input示例

Output示例

求模素数 $p$ 原根的方法：对 $p - 1$ 素因子分解，即 $p_1^{a_1}*p_2^{a_2}* \cdots*p_k^{a_k}$ 是p-1的标准分解式，若恒有
$g^{\frac{p-1}{p_i}}\neq1(mod p)$
成立，则就是的原根。（对于合数求原根，只需把换成即可）

#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
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#include <map>
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#include <stack>
#include <list>
#include <deque>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;
#define ALL(v) (v).begin(),(v).end()
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define bp __builtin_popcount
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fin freopen("D://in.txt","r",stdin)
#define fout freopen("D://out.txt","w",stdout)
#define lson t<<1,l,mid
#define rson t<<1|1,mid+1,r
#define seglen (node[t].r-node[t].l+1)
#define pi 3.1415926
#define exp  2.718281828459
#define lowbit(x) (x)&(-x)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<LL,LL> PLL;
typedef vector<PII> VPII;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1e9 + 7;
template <typename T>
inline void read(T &x){
    T ans=0;
    char last=' ',ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9')last=ch,ch=getchar();
    while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(last=='-')ans=-ans;
    x = ans;
}
const int maxn = 1000000 + 10;
bool prime[maxn];
int p[maxn],pri[maxn];
int cnt1,cnt2;
void Iprime()
{
    cl(prime,false);
    cnt1 = 0;
    for( int i = 2; i < maxn; i++ ){
        if(!prime[i]){
            p[cnt1++] = i;
            for( LL j = (LL)i*i; j < maxn; j += i ){
                prime[j] = true;
            }
        }
    }
}
void Divide(int num)
{
    cnt2 = 0;
    int k = sqrt(num);
    for( int i = 0; p[i] <= k; i++ ){
        if(num % p[i] == 0){
            pri[cnt2++] = p[i];
            while(num%p[i] == 0)num /= p[i];
        }
    }
}
LL PowerMod(LL a, LL b, LL c)
{
    LL ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0)
    {
        if(b % 2 == 1)
        ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int p;
    Iprime();
    while(~scanf("%d",&p)){
        Divide(p-1);
        int ans;
        for( int i = 2; i < p; i++ ){
            bool flag = true;
            for( int j = 0; j < cnt2; j++ ){
                int tmp = (p-1)/pri[j];
                if(PowerMod(i,tmp,p) == 1){
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if(flag){
                ans = i;
                break;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}