剑指offer-斐波拉切数列+跳台阶+变态跳台阶（递归系列）

最新推荐文章于 2019-09-10 09:36:41 发布

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本文深入解析了多个经典算法问题，包括斐波那契数列的不同解法，跳台阶问题及其变种，以及矩形覆盖问题。通过递归、动态规划等方法，详细阐述了解题思路与代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、斐波拉切数列

题目描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39

解题思路：

参考了这篇博客：https://www.cnblogs.com/edisonchou/p/4752052.html

对于斐波拉切数列，我们都很熟悉，在学递归方法的时候都讲过这个经典的运用递归的算法。

所以一种通常的解题方法就是用递归。

1.递归，但是递归的时间复杂度相当高，因为它在递归的过程中会计算一些重复的步骤。

越靠下面的元素要都要计算更多的遍数。

代码1：

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n>39){
            System.out.println("n不能大于39！");
        }
        return Fib(n);
    }
    private int Fib(int n) {
        // TODO Auto-generated method stub
        if(n<=1){
            return(n==1?1:0);
        }
        return Fib(n-1)+Fib(n-2);
    }
}

2.从下往上顺序计算

这样可以避免计算上面这棵树中一些重复的节点。时间复杂度为o(n)，耗时比递归方法减少了很多。

代码2：

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        int[] init={0,1};
        if(n<2){
            return init[n];
        }
        int f_2=0;
        int f_1=1;
        int f_n=0;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            f_n=f_2+f_1;
            f_2=f_1;
            f_1=f_n;   
        }
         
        return f_n;
 
    }
}

上图给出了两种方法的执行时间，可以看出递归的时间复杂度不是一般的大。

二、跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

如果只有n=1，则只有一种方法。

如果有n=2，则有两种方法，1+1或者2；

如果n>2,则第一次跳的时候有两种不同的选择，跳1台，则剩下的跳法与前面n-1台的一致。如果跳2台，则剩下的跳法与前面n-2台的一致。f(n)=f(n-1)+f(n-2).

所以此题的解法与上面解法一致。

代码：

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        int[] init={1,2};
		if(target<=2){
			return init[target-1];
		}
		int t_2=1;
		int t_1=2;
		int t=0;
		for (int i = 3; i <=target; i++) {
			t=t_2+t_1;
			t_2=t_1;
			t_1=t;
			
		}
		return t;

    }
}

用数组存储前面序列的值：

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target<=2){
			return (target==2?2:1);
		}
		int[] ret=new int[target+1];
		ret[1]=1;
		ret[2]=2;
		for (int i = 3; i < ret.length; i++) {
			ret[i]=ret[i-2]+ret[i-1];	
		}		
		return ret[target];
    }
}

三、变态跳台阶

参考：https://blog.youkuaiyun.com/qq_35082030/article/details/66975094

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

n=1时，有一种方法，f(1)=1;

n=2时，有两种方法，1+1,2，所以f(2)=2;

n=3时，如果第一次跳1，则剩下的跳法有f(2)种；第一次跳2，则剩下的跳法有f(1)种；第一次跳3。f(3)=f(2)+f(1)+1;

n=4时，如果第一次跳1，则剩下的跳法有f(3)种；第一次跳2，则剩下的跳法有f(2)种；第一次跳3，则剩下的有f(1)种跳法；第一次跳4。所以f(4)=f(3)+f(2)+f(1)+1

……

设1=f(0),

则为n时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(2)+f(1)+f(0)；

而 f(n-1)= f(n-2)+…+f(2)+f(1)+f(0);上下相减，可得

f(n)=2f(n-1)

实现1：线性操作

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target==1){
            return 1;
        }
        int f=1;
        for(int i=1;i<target;i++){
            f*=2;            
        }
        return f;
        
    }
}

实现2：递归操作（不推荐）

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target<=2){
            return (target==2?2:1);
        }
        return 2*(JumpFloorII(target-1));
         
    }
}

实现3：未化简之前（递归方法）

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        if(target<=2){
            return (target==2?2:1);
        }
        int sum=0;
        for (int i = 0; i <target; i++) {
            sum+=JumpFloorII(i);
        }
        return sum;
         
    }
}

对上面化简后的式子f(n)=2f(n-1)再次进行化简，

f(n)=2*2*f(n-2)=2*2*2*f(n-3)=2^(n-1)*f(1)

实现4：

public class Solution {
    public int JumpFloorII(int target) {
        return (int)Math.pow(2, target-1);
    }
}

4.跳台阶，三种方式

题目：一个人爬楼梯，一次可以爬1级，2级，5级，如果楼梯一共有N级，总共有多少种走法？

实现1：递归

public int  jump(int target){
	if(target==0) return 1;
	if(target==1) return 1;
	if(target==2) return 2;
	if(target<5){
		return jump(target-1)+jump(target-2);

	}else{
		return jump(target-1)+jump(target-2)+jump(target-5);
		
	}
}

实现2：DP

public int  jump2(int target){
	if(target<0) return 0;
	if(target==1) return 1;
	if(target==2) return 2;
	int[] dp=new int[target+1];
	dp[0]=1;
	dp[1]=1;dp[2]=2;
	if(target<=2){
		return dp[target];
	}
	for (int i = 3; i <=target; i++) {
		if(i<5){
			dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];	
		}else{
			dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-5];
		}
	}
	return dp[target];
}