10、线性模型：变量关系探索与预测模型构建

线性模型：变量关系探索与预测模型构建

1. 变量关系的初步探索

在进行统计分析之前，我们可以通过绘制变量图表来判断它们之间是否存在联系。以营销投资和销售为例，预测的准确性依赖于这两个变量之间的紧密联系。而相关系数则能衡量这种联系的统计重要性。

1.1 相关系数的含义与计算

相关系数的取值范围在 -1 到 1 之间：
- (r = +1) 表示 (X) 和 (Y) 变量之间存在完美的线性关系。
- (r = -1) 表示完美的负线性关系。
- (r = 0) 表示不存在线性关系，此时斜率为零。

相关系数的计算公式为：(r_{xy}=\frac{协方差}{标准差的乘积}=\sqrt{r^2}) ，其中 (b_1) 的符号就是线性模型斜率的符号。

例如，已知 (b_1) 斜率 = +0.04，决定系数 (r^2 = 0.643)，则相关系数 (r_{xy} = +\sqrt{0.643} \approx 0.8) 。这表明 (X) 预测变量和 (Y) 结果变量之间存在很强的关系，即增加电视营销投资时，销售会增加。

1.2 线性模型中斜率的类型

通过绘制销售（(Y)）和营销（(X)）之间的关系图，我们可以判断斜率的情况：
- 正斜率：表示变量之间存在直接关系，即 (X) 变量增加时，(Y) 变量也增加。
- 负斜率：表示变量之间存在反比关系，即 (X) 变量增加时，(Y) 变量减少。
- 斜率为零：表示变量之间不存在关系，此时 (X) 变量无法用于预测 (Y) 的值。

2. 斜率的统计显著性检验

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