10、热力学投影算子的唯一性探究

热力学投影算子的唯一性探究

1. 线性向量场的投影

在这部分，我们将探讨线性向量场的投影相关内容。设 $E$ 为具有标量积 $\langle| \rangle$ 的实希尔伯特空间，$Q$ 是 $E$ 中线性有界算子的集合，对于每个 $A \in Q$，二次型 $\langle Ax | x\rangle\leq0$。$T \subsetneq E$ 是一个非平凡（$T \neq {0}$）的闭子空间。

对于每个投影算子 $P : E \to T$（$P^2 = P$）和线性算子 $A : E \to E$，我们定义投影算子 $P(A) : T \to T$ 如下：
[P(A)x = PAx \equiv PAPx \quad \text{for} \quad x \in T]

这里有一个重要的命题：
- 命题 1 ：对于投影算子 $P : E \to T$，$P(Q) \subseteq Q_T$ 成立当且仅当 $P$ 是关于标量积 $\langle| \rangle$ 的正交投影算子。
- 证明思路 ：若 $P$ 是正交的（因此是自伴的）且 $\langle Ax | x\rangle\leq0$，则 $\langle PAPx | x\rangle = \langle APx | Px\rangle\leq0$。若 $P$ 不是正交的，则对于 $T$ 的正交补中的某个向量 $x$，$Px \neq 0$。考虑负定自伴算子 $Ax = -| Px - ax\rangle\langle Px - ax |$，其在 $T$ 上的投影 $P(Ax) = (a - 1) | Px\