K-Nearest-Neighbour:kd树的理解

代码参考GitHub:lihang-code的第三章。

kdtree用于计算距离多维数据目标点距离最近的点，用于采集K近邻中的k个距离最近的点。

李航书中用一个二维的例子来解释这一过程，由于是二维，距离选择欧式距离（二范数），猜想高维数据将用到更高的范数来计算所谓距离。

题目：

给定一个二维数据集：

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]

计算距离点（3,4.5）距离最近的点。
这个例子的优点在于，它的最近点不是分割出这一空间的叶子节点，也不是这个叶子结点的父亲，而是父亲节点的兄弟节点，遍历过程较为复杂，正好可以用于分析程序。

构造KD树

构造部分还是挺好理解的，

• 节点
  节点数据、以节点为分割轴的轴方向、左右节点。
• 构造函数
  维度循环（0~k），子节点为父亲节点分割维数的加一取余。
  数据取当前数据的中位数，当然，需要先排序。

class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split  # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left  # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right  # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree


class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度

        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]  # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k  # cycle coordinates

            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),  # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树

        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

搜索KD树

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
                    "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")


def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度

    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"),
                          0)  # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷

        nodes_visited = 1

        s = kd_node.split  # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”

        if target[s] <= pivot[s]:  # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left

        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域

        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist  # 更新最近距离

        nodes_visited += temp1.nodes_visited

        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内

        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))

        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot  # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径

        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)

        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离

        return result(nearest, dist, nodes_visited)

    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归

搜索过程是：先向下找到目标点所在的叶子结点空间（无论最后是在叶子节点的左子空间还是右子空间），确定当前的最近距离（目标点与该叶子节点的距离），以此距离画一个超球体。

只要某一分割线与超球体相交（超球体半径<目标点与分割节点在该维度上的坐标值之差），就代表该分割线划分的子空间中的点有可能位于超球体内部（与目标点距离更近），因此需要遍历该分割线上的节点的左右子空间，没错两个空间都要，遍历方法依旧是向下到该空间叶子节点，再往上。

按这个方法向上回溯，因为目标节点处在所有祖先节点的子空间中，超球体与所有祖先的分割线都有可能相交，就有可能成为最近节点。

溯回到根，终于可以结束程序。

• 找到目标点对应的叶子节点

target[s] 目标点在该子空间的维度上的值
pivot[s] 空间节点在该子空间的维度上的值
每个节点空间都是有维度的，例如根节点对应整个空间，对应split = 0
大于：左子树；小于；右子树。

• 计算超球体半径（当前最近距离），判断超球体是否与该节点所在分割线相交，如相交，更新最小半径等，进入该叶子节点另一子空间（None）。

temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])#该维度上坐标数值之差
max_dist < temp_dist#与超球体半径比较

与[4,7]轴相交
计算与[4,7]距离为2.69，并设为最近距离，最近节点。
前面提到，与轴相交，那么轴的两个子空间都要遍历，只不过对于叶子节点，另一子空间为空，就返回了。

• 回溯，重复上述过程

现在处于[5,4]子空间，发现维度数值差为0.5，肯定相交，计算与该节点距离为2.06，更新最短距离。

进入另一子空间，向下查找发现[2,3]，重复上述操作，最短距离更新为1.08。

[5,4]子空间被遍历干净，回溯到[7,2]，7-3>1.08，直接返回，最终得到一个元祖。