C语言：数组操作【素数/线性筛、二分查找】

arr代表数组首地址，type arr[n]将在内存中开辟一块连续的nsizeof(type)存储空间，arr + 1代表在原来地址基础上偏移1个type类型地址大小，32位sys中就是32位，同理64位。
在函数内部建数组，是在栈区，不赋初始值可能会有奇怪的数字；而在函数外，则变量默认在堆区开辟空间，自动进行初始化操作【都为0】。栈区默认8MB【约可存储2百万个整形变量，8102410248/32 ~=2097152】，大于200万的变量数最好开在堆区。
函数与数组有一定类似性，数组也可以理解为下标与值的一个映射关系，

素数筛

核心思想：用素数去枚举/标记合数。
优化1
由于一个合数，肯定是由n * m合成，其中质数n < m，对于这种数，肯定在之前n的倍数标记中被标记过了，如6=2 * 3，那么在3的倍数中，就可以从3 * 3开始表示，不去理睬比当前质数更小的乘数，因为肯定乘过了。
优化2
素数筛中prime[0]无用，可以用来记录素数个数，素数标记从prime[2]开始，逐个检测标记是否为0，然后第一个素数的值放在prime[1] = 2，第二次检测3位素数，prime[2] = 3，第三次检测5为素数，prime[3] = 5.。。。因此素数值变化越来越快，但素数个数增长较慢。程序可以记为：
prime[++prime[0]] = i。
素数筛引申问题

• 求每个数字的最大素因子
• **最小素因子
• 每个合数被标记了几次

线性筛

每一个数的最小素数是惟一的，因此最小素数 * 另一因数的乘数对是可以被唯一确定的，比如30 = 15 * 2, 45 = 15 * 3，但225 = 15 * 5就不对，而必须是225 = 75 * 3，这是因为15 = 5 * 3，因此以15为因数的数字，其最小素因数必须<=3。利用这个唯一的表达式，可以保证每个合数都只被标记了一次。
程序的大致思路为：
表达式：N = M * p
枚举M，并对任意小于等于（M的最小素因数p），进行M * p，标记这个数字为合数。其中M线性增长，合数的筛查快于M，而M一定大于当前检测出的所有p。
相比于素数筛，i^2仅仅作为筛子的起始元素：
2 * 2 = 4, 2 * 3 = 6, 2 * 4 = 8, 2 * 5 = 10, 2 * 6 = 12…N_MAX
3 * 3 = 9, 3 * 4 = 12, 3 * 5 = 15, 3 * 6 = 18…N_MAX
线性筛中，i则作为最小素因数的另一乘数M：
2 * 2 = 4
3 * 2 = 6， 3 * 3 = 9
4 * 2 = 8
5 * 2 = 10，5 * 3 = 15, 5 * 5 = 25
6 * 2 = 12
…
素数筛时间复杂度为O(N * loglogN)， 线性筛为O(N)

Code

线性筛

#include<stdio.h>
#define MAX_N 100

//求100以内素数

int prime[MAX_N + 5];//约定0位素数，1为合数

void init(){
	for (int i = 2; i <= MAX_N; i++){
		if (!prime[i]) prime[++prime[0]] = i;//记录素数及素数个数
		for (int j = 1; j <= prime[0]; j++){
			if (prime[j] * i > MAX_N) break;
			prime[prime[j] * i] = 1;
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}
	return ;
}

int main(){
	init();
	for (int i = 1; i <= prime[0]; i ++){
		printf("%d\n", prime[i]);
	}
	return 0;
}

素数筛

#include<stdio.h>
#define MAX_N 100

//求100以内素数

int prime[MAX_N + 5];//约定0位素数，1为合数

void init(){
	for (int i = 2; i <= MAX_N; i++){
		if (prime[i])
			continue;
		prime[++prime[0]] = i;//记录素数及素数个数
		for (int j = i * i; j <= MAX_N; j+=i){
			prime[j] = 1;
		}
	}
	return ;
}

int main(){
	init();
	for (int i = 1; i <= prime[0]; i ++){
		printf("%d\n", prime[i]);
	}
	return 0;
}