从贝叶斯理论到图像马尔科夫随机场

本节主要介绍马尔科夫的随机场模型以及其用于图像的分割算法中。基于马尔科夫的随机场（MRF）的图像分割是一种基于统计的图像分割算法，其模型参数少，空间约束性强，使用较为广泛。

首先了解一下马尔科夫模型，纯粹的马尔科夫模型就是指一件事物的当前状态只与它之前的1个或者n个状态有关，而与再之前的状态没有关系，比如今天天气好坏只与昨天天气有关，而与前天乃至大前天都没有关系。符合这样的一种特性的事物认为其具有马尔科夫性。那么引申到图像领域，就是认为图像中某一点的特征（一般都是像素点灰色、颜色值等）只与其附近的一小块领域有关，而与其他的领域无关。想想也是这样，大多数时候，图像中某一点像素和附近的像素是相关的，附近领域像素是黑的，那它八成也是黑的，很好理解。

马尔科夫随机场在图像领域的一大用途就是图像的分割，本文也主要介绍该方法的图像分割。

关于图像分割问题，从聚类角度讲，就是一个图像的聚类问题，把具有相同性质的像素点设置为一类。在说详细点就是一个标签分类问题，比如把一副图像分割成4类，那么每一个像素点必定属于这四类中的某一类，假设四类为1，2，3，4类，那么分割就是给每个像素点找一个标签类。好了，假设我们的待分割图像是S，大小m*n，那么把每个像素点放到集合S中，图像就是：$S = {S_1,S_2,...,S_{m*n}}$，把待分割的图像称为观测到的图像。现在假设分割好了，每个像素点都分了类，那么把最终的分割结果称为W，那么显然w大小与S一样大，$W = {w_1,w_2,...,w_{m*n}}$,其中所有的w取值都在1-L之间，L是最大的分类数，比如上面L=4，那么每个w都是在1-4之间取值的。

这是我们假设知道了最终分割结果W，但是W在开始是不知道的？现在的问题就是如何求W，我们所知道的不过是观测到的图像S，也就是说在知道S情况下求W，转化为概率就是求取$P(W|S)$,问题就变成求取这个概率的最大值，也就是说根据S我们算出这个图像的最有可能的分割标签是什么。

基于此，问题才刚刚开始。我们由贝叶斯理论知道

$$P(W|S)=\dfrac{P(S|W)P(W)}{P(S)}$$
观察这个式子先不看能不能求出来，先给一些定义。因为W就是我们要求的分类标签，我们称P(W)为标记场w的 先验概率（要求它，事先又不知道，那就叫先验概率吧，不知道是不是这样来的）。P(S|W)是观察值S的 条件概率分布（也称 似然函数），看结构知道，这个是说在已知像素点标记w的情况下，它是真实的像素点s的概率，所以是一个似然函数，表示我的观察像素点和真实的分类情况w像不像的一种程度。那P(S)是什么？S是观察到的图像，在分割前它就已经定了，我就要分割这幅图像，那它还有概率吗？没有吧，所以P(S)认为是个定值。那么现在要求P(W|S)的最大值，也就是要求P(S|W)P(W)的最大值。

先来说说P(W)这个标记场w的先验概率。那么我们落实到图像的每一个像素点上，也就是说这个像素点是标签L的概率是多少，有人可能会说，分割之前图像的分类标签都不知道，还怎么算是某一类标签L的概率，这个问题是有点较劲不好理解。我觉得，这就是一个鸡蛋问题，是先有鸡还是先有蛋的问题，我们要求这只鸡，但是又没有蛋怎么办？一个简单的办法是我随便弄一个蛋来，管他是鸡蛋鸭蛋，有了蛋，鸡（或者鸭）就可以有了，虽然这个鸡不太像鸡，比如说是只野鸡，那么有了野鸡，野鸡再稍微进化一下，然后再下个蛋，蛋又长出野鸡1号，野鸡1号再稍微进化一下，然后再下个蛋，变成野鸡2号，如此反复反复，知道野鸡n号，然后蓦然回首发现，野鸡n号和我们所要的鸡竟是那么的相似，那么把它就认为是我们要的鸡了。又没有糊涂？其实优化聚类里面很多问题都是鸡蛋问题，比如曾经介绍的FCM算法，有个先给u还是先给c的鸡蛋问题，u的计算需要c，c的计算有需要u，那怎么办，先假设一个