cost function( 成本函数 ) 在 regression( 回归 ) ( 二 )

最新推荐文章于 2024-09-18 13:50:39 发布

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#logistic regression #cost function #逻辑斯蒂回归 #代价函数 #ml

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本文探讨了在回归问题中，特别是当输出值为离散值时，如何选择合适的回归算法及成本函数。文中提出了一种将连续输入值映射到特定离散输出值的方法，并详细解释了如何通过调整假设函数来实现这一目标。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

接上文, 本文中讨论其他 regression 中的不同 cost function.

回顾 Linear regression 中hypothesis function 的 output value 为连续值.

若 input values 是一组判断是否问题的条件. 则 output value $y$ 是 $y\epsilon \{0,1\}$ .

若 input values 同是一组判断条件, 即 output value $y$ 是非连续离散的值 $y\epsilon \{0,1,\cdots,k\}$ .

先来讨论 $y\epsilon \{0,1\}$ 时, 选哪个 regression algorithm 及 cost function.

当然可以使用 perception ( 感知机 ) 去解决这种分类问题, 但这里所述以 regression 思想去解决这种二分问题. perception 模型后续会写.

考虑怎么使连续的 input values 映射到 $\{0,1\}$ 集合中呢?

假设把 input values 通过某一 hypothesis function 使 $h_\theta(x)\epsilon [0,1]$ , 且 $h_\theta(x)\epsilon [0,1]$ 映射到 $h_\theta(x)\epsilon \{0,1\}$ 以如下规则:

$h_\theta(x)$ 以 $\frac{1}{2}$ 为分界点, 如果 $h_\theta(x)>\frac{1}{2}$ 则 $h_\theta(x)=1$ , $h_\theta(x)<\frac{1}{2}$ 则 $h_\theta(x)=0$ .

如果 $y=1$ ，则 $h_\theta(x)$ 离 1 越近越好，反之 $y=0$ 则 $h_\theta(x)$ 离 0 越近越好.

cost function 可以表示为

$cost(h_\theta(x),y)=\left\{\begin{matrix} \ h_\theta(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ if \ y = 1 \\ \ 1-h_\theta(x) \ \ \ \ if \ y = 0 \end{matrix}\right.$

也可以写成这样一个式子:

$cost(h_\theta(x),y)=h_\theta(x)^y\cdot (1-h_\theta(x))^{1-y}$

使 cost function 值越小 $\theta$ 是, 让 $h_\theta(x)$ 等于或无穷接近 $Y$ .

回想上一文, 其实 $cost(h_\theta(x),y)=J(\theta)$ .

同样对 $\theta$ 求偏导, ( 求最大斜率, 迭代 )

$cost(h_\theta(x),y) \\=\prod_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}} \cdot (1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$

为了计算方便, 先取对数, 在求偏导.( 过程暂时省略, 稍后会给出 )

$\frac{\partial }{\partial\theta_j}log{J}(\theta) \\=(h_\theta(x)-y)\cdot x_j$

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