6、哈密顿 - 雅可比方程与守恒律的关联及数值离散方法

哈密顿 - 雅可比方程与守恒律的关联及数值离散方法

1. 守恒律与哈密顿 - 雅可比方程的联系

1.1 一维标量守恒律

一维标量守恒律的一般形式为：
[u_t + F(u)_x = 0]
其中 (u) 是守恒量，(F(u)) 是通量函数。一个著名的守恒律是质量守恒的连续性方程：
[\rho_t + (\rho u)_x = 0]
这里 (\rho) 是物质的密度。在计算流体动力学中，连续性方程与动量守恒和能量守恒方程结合，可得到可压缩的纳维 - 斯托克斯方程。当忽略粘性效应时，纳维 - 斯托克斯方程简化为可压缩的无粘欧拉方程。

欧拉方程中存在间断，这使得我们需要考虑弱解，因为解变量的导数（如 (\rho_x)）可能不存在。例如线性接触间断和非线性激波。即使初始数据是光滑的，激波的非线性特性也会使其在时间推进过程中发展。欧拉方程并不总是有唯一解，需要使用熵条件来挑选出物理上正确的解，即上一章讨论的消失粘性解。

1.2 伯格斯方程

伯格斯方程：
[u_t + \left(\frac{u^2}{2}\right)_x = 0]
是一个标量守恒律，它具有更复杂的欧拉方程中许多有趣的非线性特性。伯格斯方程能从光滑的初始数据发展出间断的激波，如果不使用消失粘性解将其转化为光滑的稀疏波，还会出现非物理的膨胀激波。许多求解伯格斯方程的数值方法可以扩展到处理气体动力学中的一维和多维欧拉方程。

1.3 一维哈密顿 - 雅可比方程与守恒律的对应关系

一维哈密顿 - 雅可比方程为：
[\varphi_t + H(\varphi_x) = 0]