1、隐式函数与曲面的基础介绍

隐式函数与曲面的基础介绍

1. 隐式函数与界面表示

在空间维度的研究中，界面的表示方式有显式和隐式两种。
- 一维情况 ：在一维空间里，可通过特定点将实数轴划分为不同子区域。例如，用 (x = -1) 和 (x = 1) 把实数轴分成 ((-\infty, -1))、((-1, 1)) 和 ((1, \infty)) 三个部分，其中 (\Omega^- = (-1, 1)) 为内部区域，(\Omega^+ = (-\infty, -1) \cup (1, \infty)) 为外部区域，边界 (\partial\Omega = {-1, 1}) 称为界面。显式界面表示就是直接列出属于界面的点，如这里的 (\partial\Omega = {-1, 1})；而隐式界面表示则是将界面定义为某个函数的等值线，像 (\varphi(x) = x^2 - 1) 的零等值线，即 (\varphi(x) = 0) 的点集，恰好就是 (\partial\Omega = {-1, 1})。实际上，选择零等值线来表示界面并非唯一，对于任意函数 (\hat{\varphi}(\vec{x})) 和标量 (a)，定义 (\varphi(\vec{x}) = \hat{\varphi}(\vec{x}) - a)，则 (\varphi(\vec{x}) = 0) 的等值线与 (\hat{\varphi}(\vec{x}) = a) 的等值线相同，且 (\varphi) 和 (\hat{\varphi}) 除了有一个标量平移 (a) 外，性质相同，偏导数也一样。所以，后续的隐式函数通常定义为零等值线表示界面。
- 二维情况 ：在二维空间中，低维界面是一条