上海计算机学会 2024年3月月赛 丙组T5 限速（思维、数学）

第五题：T5限速

标签：思维、数学
题意：开车在一条路上，从坐标$0$开始，车的起始速度是$1$，车每开出一单位的距离，可以选择速度不变、或将速度增加一个单位、或减少一个单位，车的速度不能低于$1$。
车子将通过$n$个限速点，第$i$个测速点的坐标为$x_i$，限速为$L_i$，当通过最后一个限速点，结束旅程，求整个路程过程中，车子能够达到的最大速度是多少？
题解：需要先从后往前维护一下，降速情况下，通过每个限速点的最大速度，实际能否到达题目限制的$L_i$，还会受到两个位置坐标距离的影响。
比如两个坐标位置距离为$10$，前一个位置的限速为$30$，后一个位置的限速为$5$，那么开到前一个位置就不能是$30$，而应该是$15$，这样才能保证能到后一个位置能降速到$5$。
预处理好之后，从前往后遍历，维护一下通过第$i$个限速点的最大可行速度，$c[i]=min(c[i-1]+x[i]-x[i-1],L[i])$

以下为数学推导：
设$a$为$x_{i-1}$到$x_i$之间加速路段，$b$为$x_{i-1}$到$x_i$之间减速路段。
$c_{i-1}$为第$i-1$个点的可行速度，$c_i$为第$i$个点的可行速度。
可知$a+b=x_i-x_{i-1}$，$c_{i-1}+a=c_i+b$
$c_{i-1}+a=c_i+x_i-x_{i-1}-a$
把$a$移到左边：$2a=c_i-c_{i-1}+x_i-x_{i-1}$=> $a=(c_i-c_{i-1}+x_i-x_{i-1})/2$
最大速度为$c_{i-1}+a$，所以可以求出在这个路程中的最大速度为$(c[i]+c[i-1]+x[i]-x[i-1])/2$
代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll N = 3e5 + 10;

ll n, x[N], L[N], c[N];

int main() {
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> x[i] >> L[i];
    }
    for (int i = n; i >= 2; i--) {
        if (L[i] < L[i - 1]) {
            ll d = (x[i] - x[i - 1]);
            // 通过每个限速点的最大速度
            L[i - 1] = min(L[i - 1], L[i] + d);
        }
    }

    c[0] = 1;
    ll ans = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ll d = (x[i] - x[i - 1]);
        // c[i]: 通过第i个限速点的最大可行速度
        c[i] = min(c[i - 1] + d, L[i]);
        ans = max(ans, (c[i] + c[i - 1] + d) / 2);
    }

    cout << ans;
    return 0;
}