2018 ACM-ICPC 中国大学生程序设计竞赛线上赛 Copy and Submit II (结论题，数学，好题)

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/obsorb_knowledge/article/details/80050036

本文介绍了一种递归求和问题的高效解决方法，并通过代码示例详细解释了如何使用数学技巧来简化复杂的递归过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description:

// Q.cpp
#include <iostream>
using namespace std;
const long long M = 1000000007;
const long long MAXL = 1000000;
long long a[MAXL];
long long Q(int n, long long t)
{
    if(n < 0) return t;
    return (Q(n - 1, t) + Q(n - 1, (t * a[n]) % M)) % M;
}
int main()
{
    int n;
    while(cin >> n)
    {
        for(int i = 0; i < n; ++i)
        {
            cin >> a[i];
            a[i] %= M;
        }
        cout << Q(n - 1, 1) << endl;
    }
    return 0;
}

Input:

Input consists of several test cases. Each test case begins with an integer n. Then it's followed by n integers a[i].

0<n<=1000000

0<=a[i]<=10000

There are 100 test cases at most. The size of input file is less than 48MB.

Output:

Maybe you can just copy and submit. Maybe not.

样例输入

样例输出

234
667

题意：其实题意就是输入一数n，下面有n个数，给你代码递归的意思就是，从这n 个数中取出 i (0<=i<=n) 相乘，输出所有可能得出的结果相加的和；（定义：从n个数取出0个相乘得时为1）例：

n = 3； a[1] a[2] a[3]

输出： 1 + a[1] + a[2] +a [3] + a[1]*a[2] + a[1]*a[3] + a[2]*a[3] + a[1]*a[2]*a[3];

上述那个递归的过程就是这个意思；

怎么才能简化这个过程呢，下面我们利用数学知识可以知道这个式子是一个式子的展开式；

定义 res = 1；

res = res + res*a[i];

下面举例说明为什么

n = 3时

第一次循环：

res = 1 + 1*a[1];

第二次：

res = （ 1+a[1] ）+ （1+a[1]）*a[2] = 1+a[1] +a[2] + a[1]*a[2];

第三次：

res = （1+a[1]+a[2]+a[1]*a[2]）+ ( 1+a[1]+a[2]+a[1]*a[2] ) * a[3] = 1+a[1]+a[2] + a[3] + a[1]*a[2] + a[1]*a[3]+ a[2]*a[3]+a[1]*a[2]*a[3];

其实 1 + a[1] + a[2] +a [3] + a[1]*a[2] + a[1]*a[3] + a[2]*a[3] + a[1]*a[2]*a[3];就是res = res + res*a[i]的展开式，一步步把括号去掉就是这个展开式；

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define mod 1000000007
#define ll long long 

int main()
{
	ll i,j,n;
	while(~scanf("%lld",&n))
	{
		ll ans = 1,t;
		for(i = 0;i<n;i++)
		{
			scanf("%lld",&t);
			ans = (ans + (ans*t)%mod)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}