ACM数列相关

写在前面

按理来说，求数列通项本应该属于数学范围，但ACM中也有数列推导题的出现，处于方便，笔者决定把一些常见数列整理出来。
注:笔者是一名十八线蒟蒻，如果有错误请在评论区下留言，谢谢您帮助我做得更好。

前置知识

无！带上你的小脑瓜跟着学就是了！

一、基础数列（等比、等差、等比*等差，累加，累乘）

众所周知，
(1)对于$a_n=a_{n-1}+d(n\ge 2)$,我们有
$a_n=a_1+(n-1)d,$$S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d。$
(2)对于$a_n=a_{n-1}\ast q(n\ge 2)$，我们有
$a_n=a_1\ast q^{n-1}$
$$S_n=\{\begin{array}{l}n{a}_1,q=1\\ \frac{a_1\ast (1-q^n)}{1-q},q\ne 1\end{array}$$
(3)对于$a_n$的通项是类似$(an+b)q^n$这种"一个等差×一个等比"时，求$S_n$可以通过错位相减法。操作略
(4)对于形如$a_n=a_{n-1}+f(n)$的，我们可以通过构造式子的办法。
即构造
$a_n=a_{n-1}+f(n)$
$a_{n-1}=a_{n-2}+f(n-1)$
$a_{n-2}=a_{n-3}+f(n-2)$
…
$a_2=a_1+f(2)$
把上述所有式子加起来，化简消去，得到
$a_n=a_1+{\sum }_{i=2}^{n}f(i)$
(5)对于形如$a_n=a_{n-1}\ast f(n)$的，也是构造式子
$a_n=a_{n-1}\ast f(n)$
$a_{n-1}=a_{n-2}\ast f(n-1)$
$a_{n-2}=a_{n-3}\ast f(n-2)$
…
$a_2=a_1\ast f(2)$
全部乘起来，化简，得到
$a_n=a_1\ast {\prod }_{i=2}^{n}f(i)$
（以上为高中生必备技能，请各位复习/预习一下）
(4)和(5)中的累加和累乘的方法很重要！
最后介绍一些常用公式。

$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$
$1^2+2^2+3^2+...n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$1^3+2^3+3^3...+n^3=(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2$

Q：如何求解 1 k + 2 k + 3 k +