17、哈希函数安全性分析与随机数后处理方法解析

哈希函数安全性分析与随机数后处理方法解析

哈希函数相关证明

在哈希函数的安全性分析中，有几个重要的引理和定理需要证明。

引理证明

• 引理 1 证明 ：考虑 (x \in {0, 1}^c \setminus {0}) 以及两个不同的输入 (M_1 \parallel H_1) 和 (M_2 \parallel H_2)。根据 (S_x) 的定义，(G_x(M \parallel H) = \sum_{j \in S_x} f^{(j)}(M \parallel H \cdot A_j))。由于 (G_x(M_1 \parallel H_1)) 和 (G_x(M_2 \parallel H_2)) 是 (f^{(j)}) 均匀随机输出的线性组合，所以它们是均匀随机的。并且，对于 (M_1 \parallel H_1) 和 (M_2 \parallel H_2)，(f^{(j)}) 的内部输入块至少有一位不同，否则，若 (M_1 \parallel H_1 \neq M_2 \parallel H_2)，就可能构造出 (\cap_{j \in S_x} \ker A_j) 中的非零元素，但根据假设 (\cap_{j \in S_x} \ker A_j = {0})。因为 (f^{(j)}) 的输出是随机且独立的，所以 (G_x(M_1 \parallel H_1)) 和 (G_x(M_2 \parallel H_2)) 也是独立的。
• 引理 3 证明 ：因为 (x \in {0, 1}^c \setminus \text{Vec}(x_1, \ldots, x_r))，且