47、二叉树的平面打包问题解析

二叉树的平面打包问题解析

1. 前置引理与推论

在开始探讨二叉树平面打包问题的核心算法之前，我们先了解一些重要的引理和推论。

引理 1 相关内容 ：通过交换 (a) 和 (c) 的角色可得到第二个方程，不妨设 (p(j) = i)。当 (b = 0) 时，由于顶点 (i) 有孩子 (k) 和 (j)，且除了 ({i, k}) 和 ({i, j}) 外无其他入边，根据较大子树优先规则可得 (a - 1 \geq b + c)，结合 (c > 0) 可推出相关结论。当 (b > 0) 时，顶点 (i) 入度为 2，(j) 已有一个孩子 (\ell)，([k + 1, \ell - 1]) 上的顶点构成以 (r_B) 为根且 (p(r_B) = j) 的树 (B)，由较大子树优先规则可得 (c - 1 \geq b) 和 (a - 1 \geq b + c)，进而得出结论。

推论 1 ：考虑树 (T \subseteq T_1)，若 (T = \pi_1^{-1}([i, j]))，且 (\pi_1(T)) 使用边 ({i, k}) 和 ({\ell, j})（(i < k < \ell < j)），则 (k - i \neq j - \ell)。若 (k - i = j - \ell)，在引理 1 中会有 (a = c)，但至少有一个条件会导致 (a > b + a)，这对于 (a, b \geq 0) 是不可能的。

2. (T_2) 的嵌入算法

接下来我们重点讨论如何为 (T_2) 获得一个与已构建的 (T_1) 嵌入兼容的嵌入