6、卷积：从理论到实践的全面解析

卷积：从理论到实践的全面解析

1. 卷积基础

在卷积积分中，当(t)为常数时，可将因子(e^{-3t})提出。例如，对于单位阶跃函数(u(\tau))，有如下定义：
[
u(\tau) =
\begin{cases}
1, & \tau > 0 \
0, & \tau < 0
\end{cases}
]
[
u(-\tau) =
\begin{cases}
1, & -\tau > 0 \
0, & -\tau < 0
\end{cases}
]
由此可得(u(\tau)u(t - \tau))的取值情况：
[
u(\tau)u(t - \tau) =
\begin{cases}
1, & 0 < \tau < t \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
此时积分限变为(0 < \tau < t)，经过计算可得：
[
y(t) = \int_{0}^{t} e^{-3\tau} e^{-3(t - \tau)} d\tau = e^{-3t} \int_{0}^{t} d\tau = t e^{-3t}, \quad t > 0
]
即(y(t) = (1 - 3(1 - e^{-3t}))u(t))。

1.1 练习题

考虑一个系统，输入(x(t) = r(t) = tu(t