39、图的源点往返生成器与随机数据分区算法

图的源点往返生成器与随机数据分区算法

1. 源点往返生成器算法

1.1 算法背景与目标

在图论领域，源点往返生成器（sourcewise roundtrip - spanners）的构建是一个重要的研究方向。其目标是在图中找到一个子图，使得在这个子图中，任意两个顶点之间的往返距离与原图中的往返距离保持在一定的比例范围内，这个比例被称为拉伸因子（stretch）。这里介绍了两种用于创建具有特定拉伸因子的源点往返生成器的算法。

1.2 算法过程与分析

1.2.1 距离分析

对于顶点 (u \in S) 和 (v \in V)，当 ((1 + \epsilon)^i \leq d(u \leftrightarrow v) \leq (1 + \epsilon)^{i + 1}) 时：
- 情况一：单向最短路径包含 (V’) 中的顶点 ：若单向最短路径 (u \to v)（或 (v \to u)）包含 (V’) 中的顶点，应用引理 5（这里未详细给出引理 5 的内容，但可知其与距离计算相关），取 (d=(1 + \epsilon)^{i + 2})，可得 (d_H(u, v) \leq d(u, v)+2(1 + \epsilon)^{i + 2})（或 (d_H(v, u) \leq d(v, u)+2(1 + \epsilon)^{i + 2})）。
- 情况二：单向最短路径不包含 (V’) 中的顶点 ：若单向最短路径不包含 (V’) 中的顶点，根据定理 3（同样未详细给出定理 3 的内容），有 (d_H(u, v)=d(u, v))（或