19、最短最长路径图定向算法解析

最短最长路径图定向算法解析

1. 路径图算法

路径图是一种无向连通图，其中两个顶点的度数为 1，其余顶点的度数为 2。下面将介绍路径图的相关算法。

1.1 通用算法

给定一个具有 n 个顶点的路径图 L，假设其顶点编号从 1 到 n。为了简化，我们先给出一个仅计算最优定向成本的算法，对应的最优定向可以通过添加回溯步骤来找到，且不会增加渐近时间复杂度。该算法名为 BestOrientPathx(L)，其伪代码如下：

Algorithm 1: BestOrientPathx(L)
Input: an edge-bi-weighted path graph L with n vertices
Output: an optimal orientation of L under Hx
1 if n = 1 then
2     return 0;
3 H→x (1) = H←x (1) = −∞;
4 for j = 2 to n do
5     H→x (j) = min1≤i<j max{H←x (i), hx(⃗Li,j)};
6     H←x (j) = min1≤i<j max{H→x (i), hx(⃗Li,j)};
7 return min{H→x (n), H←x (n)};

这里使用的符号说明如下：
- $L_{i,j}$ 是由顶点 $i, \cdots, j$ 诱导的 L 的子图。
- $\vec{L} {i,j}$ 和 $\overleftarrow{L} {i,j}$ 分别是 $L