7、流处理与单次查询的空间复杂度分析

流处理与单次查询的空间复杂度分析

在流处理和查询场景中，对算法的空间复杂度进行分析是非常重要的。本文将围绕类型 2 顺序的下界展开讨论，通过构造矩阵和利用纠错码等方法，深入探讨相关算法的空间复杂度。

1. 矩阵位置关系与引理

在矩阵中，我们用一对索引 $(i, j)$ 来表示任意位置，其中 $i$ 是行号，$j$ 是列号。对于任意两个不同的位置 $(i_1, j_1)$ 和 $(i_2, j_2)$，如果 $i_1 < i_2$ 且 $j_1 < j_2$，则称 $(i_1, j_1) < (i_2, j_2)$。

下面我们来看一个重要的引理：
- 引理 3 ：给定一个 $s$ 行 $r$ 列的矩阵 $M \in {0, 1}^{s\times r}$，如果 $M$ 的每一列恰好有 $\frac{s}{4}$ 个 1，那么矩阵中存在 $t = \lfloor\frac{r\cdot s}{8(r + s)}\rfloor$ 个值为 1 的位置（记为 $(i_1, j_1), (i_2, j_2), \cdots, (i_t, j_t)$），使得 $(i_1, j_1) < (i_2, j_2) < \cdots < (i_t, j_t)$。

证明步骤如下 ：
1. 考虑函数 $f : [s] \times [r] \to [rs]$，其中 $f(i, j) = r \cdot i - j + 1$。这个函数将任意位置 $(i, j)$ 转换为 $[rs]$ 中的一个整数，并且不同位置对应的整数是不同的。
2. 对于每一列