21、模整数平方根的计算方法与性质

模整数平方根的计算方法与性质

1. 引言

在密码学领域，许多加密方案和协议都有基础版本，这些版本通常是教科书上的常见内容。然而，这些“教科书式加密”往往只适用于理想世界，在现实应用场景中存在诸多不足。本文将聚焦于模整数平方根的计算方法，介绍实用的算法及其性质。

2. 模素数的平方根计算

2.1 特殊情况（p ≡ 3, 5, 7 (mod 8)）

• p ≡ 3, 7 (mod 8) 情况 ：
  • 当 p 满足此条件时，p + 1 能被 4 整除。对于 (a \in QR_p)（(QR_p) 表示模 p 的二次剩余集合），设 (x = a^{(p + 1)/4} \pmod{p})。因为 (a^{(p - 1)/2} \equiv 1 \pmod{p})，所以 (x) 是 (a) 模 (p) 的一个平方根。
• p ≡ 5 (mod 8) 情况 ：
  • 此时，p + 3 能被 8 整除，且 ((p - 1)/2) 为偶数，(-1) 满足欧拉准则作为二次剩余。对于 (a \in QR_p)，设 (x = a^{(p + 3)/8} \pmod{p})。由 (a^{(p - 1)/2} \equiv 1 \pmod{p}) 可知 (a^{(p - 1)/4} \equiv \pm1 \pmod{p})。
  • 若 (a^{(p - 1)/4} \equiv 1 \pmod{p})，则 (x) 是 (a) 模 (p) 的平方根；若 (a^{(p - 1