zoj3886(线段树,区间取模)

本文介绍了一种基于Niconico数的特殊性质,实现区间更新与查询的算法。该算法通过线段树进行区间操作,利用预处理得到Niconico数,并实现了高效的区间更新和查询操作。

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因为一个数最多只需要log(n)次就会变成1,而模数大于他本身,他又不会变化,最次每次o(n)修改区间,最多也不会多过log(n)次,所以复杂度是正确的。暴力修改就好

niconico数:所有比x小的数且与x互质的数,从小到大排列是一个等差数列,则x为niconico数。

容易证明:niconico数只有三种:素数,2^k(k>1),6。


#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
#define nl n<<1
#define nr (n<<1)|1
using namespace std;
typedef long long ll;
bool vis[10000010];
int prim[670010];
int tot=0;
void init()
{
    memset(vis,true,sizeof(vis));
    int i,j;
    for(i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(vis[i])prim[tot++]=i;
        for(j=0;j<tot;j++)
        {
            if(i*prim[j]>10000000)break;
            vis[i*prim[j]]=0;
            if(i%prim[j]==0)break;
        }
    }
    for(i=2;i<=10000000;i*=2)
        vis[i]=true;
    vis[6]=true;
}
int maxx[100010*4];
int node[100010*4];
int a[100010];
void pushup(int n)
{
    maxx[n]=max(maxx[nl],maxx[nr]);
    node[n]=node[nl]+node[nr];
}
void build(int l,int r,int n)
{
    if(l==r){maxx[n]=a[l];node[n]=vis[a[l]];return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    build(l,mid,nl);
    build(mid+1,r,nr);
    pushup(n);
}
void update(int p,int l,int r,int n,int v)
{
    if(l==r){maxx[n]=v;node[n]=vis[v];return;}
    int mid=(l+r)>>1;;
    if(p<=mid)update(p,l,mid,nl,v);
    else update(p,mid+1,r,nr,v);
    pushup(n);
}
void mod(int p,int q,int l,int r,int n,int v)
{
    if(maxx[n]<v)return;
    if(l==r)
    {
        node[n]=vis[maxx[n]%v];
        maxx[n]=maxx[n]%v;
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(q<=mid) mod(p,q,l,mid,nl,v);
    else if(p>mid) mod(p,q,mid+1,r,nr,v);
    else {mod(p,q,l,mid,nl,v);mod(p,q,mid+1,r,nr,v);}
    pushup(n);
}
int query(int p,int q,int l,int r,int n)
{
    if(p<=l&&q>=r)return node[n];
    int mid=(l+r)>>1;
    if(q<=mid)return query(p,q,l,mid,nl);
    else if(p>mid)return query(p,q,mid+1,r,nr);
    else return query(p,q,l,mid,nl)+query(p,q,mid+1,r,nr);
}
int main()
{
    init();int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        build(1,n,1);
        int q;scanf("%d",&q);
        while(q--)
        {
            int op,l,r;scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
            if(op==1)printf("%d\n",query(l,r,1,n,1));
            else if(op==2){int v;scanf("%d",&v);mod(l,r,1,n,1,v);}
            else update(l,1,n,1,r);
        }
    }return 0;
}


### ZOJ 1088 线段树 解题思路 #### 题目概述 ZOJ 1088 是一道涉及动态维护区间的经典问题。通常情况下,这类问题可以通过线段树来高效解决。题目可能涉及到对数组的区间修改以及单点查询或者区间查询。 --- #### 线段树的核心概念 线段树是一种基于分治思想的数据结构,能够快速处理区间上的各种操作,比如求和、最大值/最小值等。其基本原理如下: - **构建阶段**:通过递归方式将原数组划分为多个小区间,并存储在二叉树形式的节点中。 - **更新阶段**:当某一段区间被修改时,仅需沿着对应路径向下更新部分节点即可完成全局调整。 - **查询阶段**:利用懒惰标记(Lazy Propagation),可以在 $O(\log n)$ 时间复杂度内完成任意范围内的计算。 具体到本题,假设我们需要支持以下两种主要功能: 1. 对指定区间 `[L, R]` 执行某种操作(如增加固定数值 `val`); 2. 查询某一位置或特定区间的属性(如总和或其他统计量)。 以下是针对此场景设计的一种通用实现方案: --- #### 实现代码 (Python) ```python class SegmentTree: def __init__(self, size): self.size = size self.tree_sum = [0] * (4 * size) # 存储区间和 self.lazy_add = [0] * (4 * size) # 延迟更新标志 def push_up(self, node): """ 更新父节点 """ self.tree_sum[node] = self.tree_sum[2*node+1] + self.tree_sum[2*node+2] def build_tree(self, node, start, end, array): """ 构建线段树 """ if start == end: # 到达叶节点 self.tree_sum[node] = array[start] return mid = (start + end) // 2 self.build_tree(2*node+1, start, mid, array) self.build_tree(2*node+2, mid+1, end, array) self.push_up(node) def update_range(self, node, start, end, l, r, val): """ 区间更新 [l,r], 加上 val """ if l <= start and end <= r: # 当前区间完全覆盖目标区间 self.tree_sum[node] += (end - start + 1) * val self.lazy_add[node] += val return mid = (start + end) // 2 if self.lazy_add[node]: # 下传延迟标记 self.lazy_add[2*node+1] += self.lazy_add[node] self.lazy_add[2*node+2] += self.lazy_add[node] self.tree_sum[2*node+1] += (mid - start + 1) * self.lazy_add[node] self.tree_sum[2*node+2] += (end - mid) * self.lazy_add[node] self.lazy_add[node] = 0 if l <= mid: self.update_range(2*node+1, start, mid, l, r, val) if r > mid: self.update_range(2*node+2, mid+1, end, l, r, val) self.push_up(node) def query_sum(self, node, start, end, l, r): """ 查询区间[l,r]的和 """ if l <= start and end <= r: # 完全匹配 return self.tree_sum[node] mid = (start + end) // 2 res = 0 if self.lazy_add[node]: self.lazy_add[2*node+1] += self.lazy_add[node] self.lazy_add[2*node+2] += self.lazy_add[node] self.tree_sum[2*node+1] += (mid - start + 1) * self.lazy_add[node] self.tree_sum[2*node+2] += (end - mid) * self.lazy_add[node] self.lazy_add[node] = 0 if l <= mid: res += self.query_sum(2*node+1, start, mid, l, r) if r > mid: res += self.query_sum(2*node+2, mid+1, end, l, r) return res def solve(): import sys input = sys.stdin.read data = input().split() N, Q = int(data[0]), int(data[1]) # 数组大小 和 操作数量 A = list(map(int, data[2:N+2])) # 初始化数组 st = SegmentTree(N) st.build_tree(0, 0, N-1, A) idx = N + 2 results = [] for _ in range(Q): op_type = data[idx]; idx += 1 L, R = map(int, data[idx:idx+2]); idx += 2 if op_type == 'Q': # 查询[L,R]的和 result = st.query_sum(0, 0, N-1, L-1, R-1) results.append(result) elif op_type == 'U': # 修改[L,R]+X X = int(data[idx]); idx += 1 st.update_range(0, 0, N-1, L-1, R-1, X) print("\n".join(map(str, results))) solve() ``` --- #### 关键点解析 1. **初始化与构建**:在线段树创建过程中,需要遍历输入数据并将其映射至对应的叶子节点[^1]。 2. **延迟传播机制**:为了优化性能,在执行批量更新时不立即作用于所有受影响区域,而是记录更改意图并通过后续访问逐步生效[^2]。 3. **时间复杂度分析**:由于每层最多只访问两个子树分支,因此无论是更新还是查询都维持在 $O(\log n)$ 范围内[^3]。 ---
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