hdu 5728 （欧拉函数性质的应用）

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本文介绍了一种特殊数值运算方法，针对平方自由数n及其欧拉函数φ的应用，通过分解n的质因数并利用欧拉函数的性质，解决了一个涉及大量数值计算的问题。文中详细解释了如何计算特定的k值，并进一步讨论了如何求解超级幂运算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Declare:

k=∑mi=1φ(i∗n) mod 1000000007

n is a square-free number.

φ is the Euler's totient function.

find:

ans=kkkk...k mod p

There are infinite number of

Input

Multiple test cases(test cases

≤100), one line per case.

Each line contains three integers,

n,m and

1≤n,m,p≤107

Output

For each case, output a single line with one integer, ans.

Sample Input

1 2 6
1 100 9

Sample Output

4
7

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <map>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e7+10;
bool vis[maxn];
int tot;
ll prim[maxn],euler[maxn],sum[maxn];

void init()
{
    tot=0;
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<=10000000;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prim[tot++]=i;
            euler[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<tot&&i*prim[j]<=10000000;j++)
        {
            vis[i*prim[j]]=true;
            if(i%prim[j]==0)
            {
                euler[i*prim[j]]=euler[i]*prim[j];
                break;
            }
            else
                euler[i*prim[j]]=euler[i]*(prim[j]-1);
        }
    }
    sum[0]=0;
    for(int i=1;i<=10000000;i++)
        sum[i]=(sum[i-1]+euler[i])%mod;
}

int cnt;
int a[15];

void resolve(int n)
{
    for(int i=0;i<tot;i++)
    {
        if(!vis[n])
        {
            a[cnt++]=n;
            break;
        }
        if(n%prim[i]==0)
        {
            a[cnt++]=prim[i];
            n/=prim[i];
        }
    }
}

ll pow(ll aa,ll nn,ll modd)
{
    ll ans=1;
    while(nn)
    {
        if(nn&1)
            ans=ans*aa%modd;
        aa=aa*aa%modd;
        nn>>=1;
    }
    if(ans==0)
        ans+=modd;
    return ans;
}

ll solve(ll k,ll modd)
{
    if(modd==1)
        return modd;
    ll up=solve(k,euler[modd]);
    ll ans=pow(k,up,modd);
    return ans;
}

ll f(int pos,ll nn,ll mm)
{
    if(nn==1)
        return sum[mm];
    if(mm==0)
        return 0;
    if(pos<0)
        return 0;
    return (((a[pos]-1)*f(pos-1,nn/a[pos],mm))%mod+f(pos,nn,mm/a[pos])%mod)%mod;
}

int main()
{
    init();//打表素数，欧拉函数，欧拉函数取模
    ll n,m,p;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&p)!=EOF)
    {
        cnt=0;
        resolve(n);//n的素因子分解
        ll k=f(cnt-1,n,m);//求k
        ll ans=solve(k,p);//求超级幂
        printf("%lld\n",ans%p);
    }
    return 0;
}

题意：只要是那个k是无限个

题解：首先是算k：先了解两条性质，欧拉函数是积性函数；

（1）积性函数性质：F(m1*m2)=F(m1)*F(m2)，当且近当gcd(m1,m2)=1时成立；

（2），其中p是n的素因子。这个用欧拉函数的素因子表达式很好证明。