Codeforce Educational Codeforces Round 125 (Rated for Div. 2) D题（预处理+调和级数在下取整中的妙用）

原创已于 2022-03-23 19:00:32 修改 · 1k 阅读

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#算法

于 2022-03-23 16:03:01 首次发布

本文介绍了一种利用二分查找策略解决给定硬币种类和数量，判断能否打败怪兽的问题。通过对每个硬币类型进行预处理，找到最大化伤害值的策略，有效降低了时间复杂度。代码实现中展示了如何通过倍数更新和最大值选取来优化计算过程。

在这里插入图片描述
样例1

输出1

5 3 -1

输入2

输出2

14 4 14 4 7 7

首先注意此题的数据范围

思路分析

看数据范围很容易想到做法：给定C，能否判断能否使用C枚硬币打败怪兽。二分即可
但是给定C如何判断是否能打败怪兽?
需要满足 $∃i,⌊Cci⌋dihi>DjHj\exists i,\lfloor \frac{C}{c_i} \rfloor d_ih_i > D_jH_j$
即只需要 $maxi(⌊Cci⌋dihi)>DjHjmax_i(\lfloor \frac{C}{c_i} \rfloor d_ih_i) > D_jH_j$
如果对于每个C，能求出前者，则问题解决了。如何求解？
对于每个C如果遍历全部将造成很高的复杂度，能否发现一些有用的性质并避免重复计算呢？
- IDEA：通过一定的方式预处理求解！不要固定一个C重复求解
  - 和预处理因数类似！逆向思考。
  - 看倍数能够达到哪些点
  - 也可以这样思考：对于一给定的C,如何才能使得左侧的式子最大化？：结果一定是一定是某个 $c_i$ 的倍数达到！而这样的 $c_i$ 如何找？从单种unit的一个开始往后延拓（结果是最近倍数的最大值）
对于每个可能的 $c_i，C=c_i$ ，如果限制仅取一个该种类型的unit，可以计算出前者。
对于每个可能的 $c_i$ ， $⌊Cci⌋\lfloor \frac{C}{c_i} \rfloor$ 增大时仅限于C是 $c_i$ 的倍数的时候，其余的不会增大。因此对每个可能的 $c_i$ 均使C从 $c_i$ 开始一直扩大相应的倍数。
最后，对不是任何 $c_i$ 倍数的部分，采用当前的值（一定为0）和前面的值取最大值即可。

AC代码

#include<iostream>
#include<vector>
#include<string>
#include<set>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<queue>
#include<math.h>
#define int long long
using namespace std;
long long c[300001];
long long d[300001];
long long h[300001];
long long F[1000001];   //给定一个可选c的条件下，求[C/C_i]*hi*di可能的最大值



signed main()
{
    int n,C;
    cin >> n >> C;
    int m;
    set<int> c_occ;
    for(int i = 0;i<n;i++) 
    {
       cin >> c[i] >> d[i] >> h[i];
       F[c[i]] = max(F[c[i]],d[i]*h[i]);      //仅雇佣一个的[C/C_i]*hi*di可能的最大值
       c_occ.insert(c[i]);
    }
    for(set<int>::iterator iter = c_occ.begin();iter!=c_occ.end();iter++)
    {
        int c = *iter;  //倍数更新
        for(int  j = c;j<=C;j+=c) F[j]=max(F[j],(j/c)*(F[c])); 
    }
    cin >> m;
    //1到C更新最大值
    for(int i  = 1;i<=C;i++) F[i]=max(F[i],F[i-1]);
    for(int  j = 0;j<m;j++)
    {
        int D,H; cin >> D >> H;
        int low  = 1; int high = C+1;
        while(low < high)   
        {
            int mid = (low+high)>>1;
            if(F[mid] <= (long long)D*H) low=mid+1;
            else high = mid;
        }
        if(low>=1 && low<=C) cout << low;
        else cout << -1;
        if(j!=m-1) cout << " ";
    }
    cout << endl;
    system("pause");
    return 0;
}