分治算法-快速幂算法

问题描述

如何在较快的时间内计算$x^n$,其中$n$可以是正数或负数，或0

• 暴力计算时间复杂度很高！
• 考虑采用快速幂算法求解。

快速幂算法（Divide and conquer ）

• 只考虑$n$为正数的情况
• 对于负数的情况只需要先求出正数的情况，再求倒数
• 对于$x^n$的情形，考虑划分如下子问题
  • 将$x^n$对半剖分，即分成解答$x^{\lfloor n/2\rfloor }$和$x^{n-\lfloor n/2\rfloor }$
  • 分别求解两个部分。
  • 当n是偶数时,有$\lfloor n/2\rfloor =n-\lfloor n/2\rfloor$
  • 当n是奇数时，有$\lfloor n/2\rfloor +1=n-\lfloor n/2\rfloor$
• 因此给出了一种递归算法：
  • 递归求解 $x^{\lfloor n/2\rfloor }$