leetcode 获取单值网格的最小操作数

最新推荐文章于 2022-04-15 17:32:43 发布

nth2000

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文章标签： leetcode 算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/nth2000/article/details/120685524

这篇博客探讨了一个二维整数网格转化为单值网格的优化问题，通过一系列加减x的操作。首先将二维数组转为一维，然后寻找一个基准值，并计算每个元素与基准值的差值对x取模的结果。如果所有结果相同，说明可以转化为单值网格，否则返回-1。优化目标是最小化操作次数，即找到一个点使得所有元素到该点的绝对距离之和最小，证明了取中位数可以达到最优解。最后给出了AC代码实现。

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给你一个大小为 m x n 的二维整数网格 grid 和一个整数 x 。每一次操作，你可以对 grid 中的任一元素加 x 或减 x 。

单值网格是全部元素都相等的网格。

返回使网格化为单值网格所需的最小操作数。如果不能，返回 -1 。
在这里插入图片描述

先将二维数组转换为一维数组。设数组 $a$ ,满足 $a [i * m + j] = g r i d [i] [j]$
设数组b,存操作序列。表示对于每个元素执行 $a [i] * b [i] * x$

于是优化目标为
$\quad \sum_{i}|b[i]|$
$\quad a[i] + b[i] * x = a[j] + b[j]*x\quad \forall i,j$

约束条件等价于
$\frac{a[i] - a[j]}{x} \quad \forall i,j$
显然约束条件成立的充分必要条件是
$\% x= 0$
固定 $i = 0$ （因为后面的约束都是冗余的）得到 $\frac{a[0]-a[j]}{x}$
于是原约束问题变成了无约束优化问题
$∑j∣b[0]−a[0]−a[j]x∣\sum_{j} |b[0] - \frac{a[0]-a[j]}{x}|$
这里 $a [0], a [j], x$ 都是已知的。该形式就是初中学过的找一个点（在这里这些点就是 $a[0]−a[j]x\frac{a[0]-a[j]}{x}$ ），使得绝对值距离最小的问题。一般地，选取这个点为所有点的中位数即可。

此类问题的一般形式如下：
$\quad |x - a_1| + |x - a_2| + \cdots + |x - a_n|$
此类问题的解为点列 $a1,a2,⋯ana_1,a_2,\cdots a_n$ 的中位数。
当点列个数为偶数时，可以使用绝对值不等式证明这个结论。不妨设 $a1,a2⋯ana_1,a_2\cdots a_n$ 升序排列，如果不是升序排列，将其排序使其是升序。则：
$a_1| + |x - a_2| + \cdots + |x - a_n| = |x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x - a_{\frac{n}{2}}| + |a_{\frac{n}{2}+1} - x| + \cdots |a_n - x|$
由绝对值不等式得到：
$|x-a_1| + |x-a_2| + \cdots + |x - a_{\frac{n}{2}}| + |a_{\frac{n}{2}+1} - x| + \cdots |a_n - x| \geq |x-a_1 + \cdots x-a_{\frac{n}{2}} + a_{\frac{n}{2}+1} -x + \cdots +a_n -x|$
上述式子右侧的x恰好完全被抵消了,只剩下常数项。上述式子可以取等号的条件是绝对值里的元素是同号的,假设是同正的，则有：
$\geq a_1,x\geq a_2,\cdots x\geq a_{\frac{n}{2}}$
$\leq a_{\frac{n}{2}+1},\cdots x \leq a_{n}$
显然x可以取序列的中位数使得上述式子成立。
对于奇数点，可以证明也是当取得中位数时上述式子最小。AC代码如下:

class Solution {
    public int minOperations(int[][] grid, int x) {
        int[] a = new int[grid.length * grid[0].length];
        for(int i = 0;i<grid.length;i++)
        {
            for(int j = 0;j<grid[0].length;j++)
                a[i * grid[0].length + j] = grid[i][j];
        }
        int[] coffeient = new int[a.length];
        coffeient[0] = 0;
        int min = coffeient[0];
        int Max = coffeient[0];
        for(int i = 1;i<coffeient.length;i++)
        {
            if((a[i] - a[0]) % x != 0)
                return -1;
            coffeient[i] = (a[i] - a[0]) /x;
        }
        int ans = 0;
        Arrays.sort(coffeient);
        int zhi = coffeient[coffeient.length  /2];
        for(int i = 0;i<coffeient.length;i++)
        {
            ans += Math.abs(coffeient[i] - zhi);
        }
        return ans;
    }
}