leetcode 获取单值网格的最小操作数

给你一个大小为 m x n 的二维整数网格 grid 和一个整数 x 。每一次操作，你可以对 grid 中的任一元素 加 x 或 减 x 。

单值网格 是全部元素都相等的网格。

返回使网格化为单值网格所需的 最小 操作数。如果不能，返回 -1 。

• 先将二维数组转换为一维数组。设数组$a$,满足$a[i\ast m+j]=grid[i][j]$
• 设数组b,存操作序列。表示对于每个元素执行$a[i]\ast b[i]\ast x$

于是优化目标为
$$min\sum _i|b[i]|$$
$$s.t.a[i]+b[i]\ast x=a[j]+b[j]\ast x\forall i,j$$

约束条件等价于
$$b[j]=b[i]-\frac{a[i]-a[j]}{x}\forall i,j$$
显然约束条件成立的充分必要条件是
$$(a[i]-a[j])\%x=0$$
固定$i=0$（因为后面的约束都是冗余的）得到$$b[j]=b[0]-\frac{a[0]-a[j]}{x}$$
于是原约束问题变成了无约束优化问题
$$\sum _j|b[0]-\frac{a[0]-a[j]}{x}|$$
这里$a[0],a[j],x$都是已知的。该形式就是初中学过的找一个点（在这里这些点就是$\frac{a[0]-a[j]}{x}$），使得绝对值距离最小的问题。一般地，选取这个点为所有点的中位数即可。

此类问题的一般形式如下：
$$min|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|$$
此类问题的解为点列$a_1,a_2,\cdots a_n$的中位数。
当点列个数为偶数时，可以使用绝对值不等式证明这个结论。不妨设$a_1,a_2\cdots a_n$升序排列，如果不是升序排列，将其排序使其是升序。则：
$$|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_n|=|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_{\frac{n}{2}}|+|a_{\frac{n}{2}+1}-x|+\cdots |a_n-x|$$
由绝对值不等式得到：
$$|x-a_1|+|x-a_2|+\cdots +|x-a_{\frac{n}{2}}|+|a_{\frac{n}{2}+1}-x|+\cdots |a_n-x|\ge |x-a_1+\cdots x-a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}-x+\cdots +a_n-x|$$
上述式子右侧的x恰好完全被抵消了,只剩下常数项。上述式子可以取等号的条件是绝对值里的元素是同号的,假设是同正的，则有：
$$x\ge a_1,x\ge a_2,\cdots x\ge a_{\frac{n}{2}}$$
$$x\le a_{\frac{n}{2}+1},\cdots x\le a_n$$
显然x可以取序列的中位数使得上述式子成立。
对于奇数点，可以证明也是当取得中位数时上述式子最小。AC代码如下:

class Solution {
    public int minOperations(int[][] grid, int x) {
        int[] a = new int[grid.length * grid[0].length];
        for(int i = 0;i<grid.length;i++)
        {
            for(int j = 0;j<grid[0].length;j++)
                a[i * grid[0].length + j] = grid[i][j];
        }
        int[] coffeient = new int[a.length];
        coffeient[0] = 0;
        int min = coffeient[0];
        int Max = coffeient[0];
        for(int i = 1;i<coffeient.length;i++)
        {
            if((a[i] - a[0]) % x != 0)
                return -1;
            coffeient[i] = (a[i] - a[0]) /x;
        }
        int ans = 0;
        Arrays.sort(coffeient);
        int zhi = coffeient[coffeient.length  /2];
        for(int i = 0;i<coffeient.length;i++)
        {
            ans += Math.abs(coffeient[i] - zhi);
        }
        return ans;
    }
}