Leetcode438字符串中的异位词

题干信息

Given two strings s and p, return an array of all the start indices of p’s anagrams in s. You may return the answer in any order.

Example 1:

Input: s = “cbaebabacd”, p = “abc”
Output: [0,6]
Explanation:
The substring with start index = 0 is “cba”, which is an anagram of “abc”.
The substring with start index = 6 is “bac”, which is an anagram of “abc”.
Example 2:

Input: s = “abab”, p = “ab”
Output: [0,1,2]
Explanation:
The substring with start index = 0 is “ab”, which is an anagram of “ab”.
The substring with start index = 1 is “ba”, which is an anagram of “ab”.
The substring with start index = 2 is “ab”, which is an anagram of “ab”.

Constraints:

1 <= s.length, p.length <= 3 * 104
s and p consist of lowercase English letters.

算法描述

这道题的算法本身很简单，但是我认为其正确性的证明是十分棘手的。首先先用自然语言描述其算法。

• 利用哈希表统计p串中每一个字符出现的次数记为哈希表A，并另设一个哈希表用于记录遍历过程中的信息，记为哈希表B。

• 初始时指针l和r都指向s串中第一个字符。

• 当r指针指向小于等于s串中的最后一个字符时，迭代执行如下步骤：

  ① 哈希表B中增加当前遍历到的r指针指向字符的次数。
  ②当该字符在哈希表B中出现的次数>该字符在哈希表A中出现的次数时，循环迭代执行如下步骤：
  i）l指针向右移动
  ii）删除哈希表B中对应字符的次数一次
  ③当l与r所对应子串长度与p一致时，将l加入最终结果中。增加r指针，继续循环

算法正确性证明

我们需要证明

• 命题1：加入的结果确实是异位子串
• 命题2：加入的结果包含了所有的异位子串
  命题1的证明：假设加入的结果存在不是p的异位子串所对应的下标，那么在该子串中一定存在某个字符出现的次数大于或小于p中对应的次数。而大于是不可能的，如果存在大于的情况，那么在前面r到达这一字符时，由算法的描述l指针一定会向由移动从而使得相等而退出第二层循环，使得l不在当前所加入的子串对应的位置，这是矛盾的。于是每个字符出现的次数只可能小于或等于的关系。
  另一方面，p串和当前子串的长度是相等的，当前子串中出现的所有字符一定在p串中都得以出现（由小于等于的性质保证的）；如果p串中存在字符在当前串中没有出现，那么当前串的某一字符一定会比p存在更多次（注意当前串中存在的一定在p串中存在），又发生了矛盾。于是，p与当前串所含的字符集合是相等的。
  最后，由于p和当前子串的长度相等，字符集相等，只可能小于等于的关系，每个字符的个数就必须相等了；

命题2的证明：在证明了命题1的基础上证明命题2。

• r指针逐步向右扫描，将所指示的字符次数增加到哈希表B中
• 使用类似数学归纳法的思路进行证明。考虑初始阶段，r指针逐步向右扫描，l不动，如果存在相等的情况则加入结果。显然不会遗漏l指在起始位置的所有结果。考虑如果需要进入第一次内层循环，表明r所字符出现的字符次数超出p中的规定了。此时可以将l指针向右移动而不会遗漏任何结果。这是因为循环只有在对应字符大于时才会执行，在循环判断成功时，对应的子串一定不会是想要的。直到循环退出时对应的子串才有可能是想要的。同时，对于每一个l值，向左边靠近一些的r值也是不存在的，否则这个内层循环就不是第一次了。
• 第一次内层循环退出后l指向了新的起始位置，l到最后可以看做是一个全新的串，外层循环继续以同样的方式进行作用在这个串上，问题的规模减小了，但算法的步骤是一致的。
• 综上所述，算法的正确性得到了证明