给定概率密度，生成随机数 python实现

实现的方法可以不止一种：

1. rejection sampling
2. invert the cdf
3. Metropolis Algorithm (MCMC)

本篇介绍根据累积概率分布函数的逆函数(2：invert the CDF)生成的方法。
原参考网站：https://blog.demofox.org/2017/08/05/generating-random-numbers-from-a-specific-distribution-by-inverting-the-cdf/
自己的理解不一定正确，有错误望指正。

目标：
已知 y=pdf(x），现想由给定的pdf, 生成对应分布的x
PDF是概率分布函数，对其积分或者求和可以得到CDF（累积概率分布函数），PDF积分或求和的结果始终为1

步骤（具体解释后面会说）：
1、根据pdf得到cdf
2、由cdf得到inverse of the cdf
3、对于给定的均匀分布[0,1),带入inverse cdf，得到的结果即是我们需要的x

求cdf逆函数的具体方法：
对于上面的第二步，可以分成两类：
1、当CDF的逆函数好求时，直接根据公式求取，
2、反之当CDF的逆函数不好求时，用数值模拟方法

自己的理解：为什么需要根据cdf的逆去获得x？
原因一：
因为cdf是单调函数因此一定存在逆函数（cdf是s型函数，而pdf则不一定，例如正态分布，不单调，对于给定的y，可能存在两个对应的x，就不可逆）
原因二：
这仅是我自己的直观理解，根据下图所示（左上为pdf，右上为cdf）

由步骤3可知，我们首先生成[0，1)的均匀随机数，此随机数作为cdf的y，去映射到cdf的x（若用cdf的逆函数表示则是由x映射到y），可以参考上图的右上，既然cdf的y是均匀随机的，那么对于cdf中同样范围的x，斜率大的部分将会有更大的机会被映射，因为对应的y范围更大（而y是随即均匀分布的），那么，cdf的斜率也就等同于pdf的值，这正好符合若x的pdf较大，那么有更大的概率出现（即重复很多次后，该x会出现的次数最多）

代码实现——方法一，公式法

import numpy as np
import math
import random
import matplotlib.pyplot as plt
import collections

count_dict = dict()
bin_count = 20

def inverseCDF():
    """
    return the x value in PDF
    """
    uniform_random = random.random()
    return inverse_cdf(uniform_random)
    

def pdf(x):
    return 2 * x
    
# cdf = x^2, 其逆函数很好求，因此直接用公式法
def inverse_cdf(x):
    return math.sqrt(x)


def draw_pdf(D):
	global bin_count
    D = collections.OrderedDict(sorted(D.items()))
    plt.bar(range(len(D)), list