HDU 2017 多校联合训练赛2 1009 6053 TrickGCD 莫比乌斯函数

TrickGCD

Time Limit: 5000/2500 MS (Java/Others)    Memory Limit: 262144/262144 K (Java/Others)

Problem Description

You are given an array  A , and Zhu wants to know there are how many different array B satisfy the following conditions?

* 1≤Bi≤Ai
* For each pair( l , r ) (1≤l≤r≤n) , gcd(bl,bl+1...br)≥2

 

 

Input

The first line is an integer T( 1≤T≤10) describe the number of test cases.

Each test case begins with an integer number n describe the size of array A.

Then a line contains n numbers describe each element of A

You can assume that 1≤n,Ai≤105

 

 

Output

For the  kth test case , first output "Case #k: " , then output an integer as answer in a single line . because the answer may be large , so you are only need to output answer mod 109+7

 

 

Sample Input

144 4 4 4

 

 

Sample Output

Case #1: 17

 

 

Source

2017 Multi-University Training Contest - Team 2


题目大意
给定一个数列A，要求满足条件 ，1≤Bi≤Ai，和条件，对于数列B的任意区间( l , r ) (1≤l≤r≤n)的 区间gcd>=2，的数列B的个数。


题目分析
首先，我们可以从公因子的角度考虑，枚举区间 [ 2，mina ) （mina为数列A中的最小值），这样我们可以得到所有Bi的可能取值，然后就是排列组合的问题。但是我们要注意，排列组合中有重复的情况。根据容斥原理，被我们重复使用的情况，只需要保留一种情况，减掉多余的情况即可。容斥原理，我们可以总结为一句话，奇加偶减。后面会结合例子解释。
至于判断一个因数i的所有排列组合情况，是否需要添加到最终的ans集合中，我们引入了莫比乌斯函数

莫比乌斯函数完整定义的通俗表达是：

1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N

2）μ(1)=1

3）当n存在平方因子时，μ(n)=0

4）当n是素数或奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1

5）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1

定义域为 [ 1, 50 ] 的莫比乌斯函数值如下： （莫比乌斯函数相关内容摘自百度百科）

根据莫比乌斯函数的定义我们可以得到，所有素数的函数值μ(n)=-1，我们可以将所有以素数为公因子的B数列的所有情况加到ans集合中，然后我们会发现公因子为非素数的情况是重复出现的。
比如，6=2*3，6在公因子为2,3时都被ans++，因此要把6减掉一次（奇加偶减）；
再比如，30=2*3*5，根据奇加偶减，因数为30的排列组合结果应该加上一次，具体分析一下，30可以分解为2*3*5，因子为2,3,5时ans++，因子为2*3=6，2*5=10，3*5=15时ans--，因此因子为30时ans++（奇加偶减）。
再再比如，210=2*3*5*7，因子为2，3，5，7时ans++四次，因子为2*3=6，2*5=10，2*7=14，3*5=15，3*7=21，5*7=35时ans--六次（其实就是组合数C(4,2)=6），因子为2*3*5=30，2*3*7=42，2*5*7=70，3*5*7=105时ans++四次（即C(4,3)=4），综上ans被加了两次，所以因子为210时ans--。
具体容斥原理使用莫比乌斯函数实现的过程请参考代码。

大体的解题思路有了，观察数据大小我们发现遍历因子，遍历A数列两个for循环100000*100000肯定超时，所以我们在进行一步优化。
假设公因子为5，那么比10,11,12,13,14小的5的倍数都只有两个，5和10，那么，我们是不是能把10~14都看做10使用呢？这样就可以将A数列分块操作，使用快速幂取模进行优化。

最后是我在代码中遇到的一些问题。
1.在最后第九十多行的两个for循环中要将i，j都转化为long long，因为循环里面的运算有用到i，j，用int类型会导致精度丢失
2.num[ ]数组要开到200000，题目数据只有100000，但是在94行的for循环中，虽然j*i<=100000，因为mina最大是100000，所以（j+1）*i最大也是可能超过100000的，最大能达到200000。
3.快速幂取模long long powermod（long long a，long long b），参数和返回值都要取long long，否则会精度丢失。


代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int cas, n;
int mina;
int mo[100005];//mobius函数打表
int num[200005];//数值为i的数的个数
int a[100005];

/*long long powermod(ll a, ll b)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2==1)ans=ans*a%mod;
        a=(a*a)%mod;
        b/=2;
    }
    printf ("ans=========%d\n",ans);
    return ans;
}*/

long long int PowerMod (long long a,long long b)
{
    long long ans = 1;
    a = a%mod;
    while (b > 0)
    {
        if (b%2 == 1)
            ans = (ans*a)%mod;
        b = b/2;
        a = (a*a)%mod;
    }
    //printf ("ans=========%d\n",ans);
    return ans;
}

void mobius(int mn)
{
    mo[1] = 1;
    for(int i=1; i<=mn; i++)
    {
        for(int j=i+i; j<=mn; j+=i)
        {
            mo[j]-=mo[i];
        }
    }
}

int main()
{
    //freopen( "1009in.txt" , "r" , stdin );
	//freopen( "1009out2.txt" , "w" , stdout );
    cas = 0;
    mobius(100000);
    /*for (int i=1; i<=10000; i++)
        printf ("%d    %d  \n",i,-mo[i]);
    printf("\n");*/
    int T;
    scanf ("%d",&T);
    while (T--)
    {
        memset(num, 0, sizeof(num));
        mina = 100005;
        scanf ("%d",&n);
        for (int i=1; i<=n; ++i)
        {
            scanf ("%d",&a[i]);
            if (mina > a[i])
            {
                mina = a[i];
            }
        }
        for (int i=1; i<=n; ++i)
        {
            num[a[i]] ++;
        }
        /*for (int i=0; i<=100000; i++)
            printf ("%d ",num[i]);
        printf ("\n");*/
        for (int i=1; i<=200000; ++i)
        {
            num[i] += num[i-1];
            //printf ("%d  ",num[i]);
        }
        //printf ("\n");
        long long sum = 0;
        //printf ("mina================%d\n",mina);
        for (long long int i=2; i<=mina; ++i)//遍历因数
        {
            long long gg = 1;
            for (long long j=1; j*i<=100000; ++j)//遍历a序列中的所有数
            {
                gg = (gg*PowerMod(j, num[(j+1)*i-1]-num[j*i-1]))%mod;//假设i=5，求5~9，num[9]-num[5-1]
            }
            //printf ("%lld\n",mo[i]*gg);
            sum = (sum-gg*mo[i]%mod+mod)%mod;
            //printf ("s--%lld\n",sum);
        }
        printf ("Case #%d: %lld\n",++cas,sum);
    }
    return 0;
}