HDU 6134（2017 多校训练：Battlestation Operational（莫比乌斯反演））

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6134

这题就是求

考虑当Gcd(i, j)==1时，除了j为1的情况，其它时候i/j一定是小数，所以i/j向上取整相当于向下取整的结果+1。这里注意的是，题目要求的是向上取整，这里转化成了向下取整（因为出现向下取整这种情况代表i和j互质，而欧拉函数就是求互质个数的，这里还有减一代表j=1时的情况，因为这里确实是满足的，虽然欧拉函数算上1了）。

那么有：（其中φ(i)为小于i与i互质的对数，即欧拉函数）

欧拉函数因为是积性函数，可以线性求出，令

为什么上面等式成立？

对于所有的n/i，当n和i不互质时，很显然它们除掉它们的Gcd之后就互质了，而等式左边正是在枚举n的约数

也就是两种情况，一种是n和i互质，另一种是n和i互质。我们发现只有d为n时才能出现互质，因为不互质那么必然有公因子，相除以后就成了n的因子和比它小的数互质。后者n和i互质就是代表左式中的d=n的情况。

考虑莫比乌斯反演：

那么有：

其中莫比乌斯函数和原公式中的欧拉函数都可以O(n)预处理

这样只要枚举后半部分就可以得出答案了

但很可惜这样复杂度仍然是O(nsqrt(n))超时！！

上面公式还可以转

其中τ(n)表示n的约数个数，是积性函数也可以线性求出

那么答案有

其中先预处理
τ(n)的前缀和，再预处理u(i)与t(n)前缀和积的前缀和

最后带上欧拉函数再算一波前缀和即可

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define LL long long
#define MAXN 1001000
const int mod=1e9+7;
int mu[MAXN];
LL ans[MAXN];
LL d[MAXN];
int phi[MAXN];
void getPhi()
{
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
        phi[i]=i;
    for(int i=2;i<MAXN;++i)
        if(phi[i]==i)
            for(int j=i;j<MAXN;j+=i)
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
}
void getMu()
{
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
    {
        int target=i == 1?1:0;
        int delta=target-mu[i];
        mu[i]=delta;
        for(int j=i+i;j<MAXN;j+=i)
            mu[j]+=delta;
    }
}
void init()
{
    getPhi();
    getMu();
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
        for(int j=i;j<MAXN;j+=i)
            d[j]++;
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
        d[i]=(d[i]+d[i-1])%mod;
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
        for(int j=i;j<MAXN;j+=i)
            ans[j]=(ans[j]+mu[j/i]*d[i])%mod;
    for(int i=1;i<MAXN;++i)
        ans[i]=(ans[i]+phi[i]-1)%mod;
    for(int i=2;i<MAXN;++i)
        ans[i]=(ans[i]+ans[i-1])%mod;
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",ans[n]);
    }
}