【ACM】tarjan算法详解【强连通分量】

呃、有时间在好好看看。

原文地址：tarjan算法详解 作者：cccc

Tarjan算法详解

效率确实是太低了，居然学习这个算法也用了我一个下午，很大的原因应该是没有找到好的课件或者说理解能力有待提高吧！

说实话，其实tarjan算法也比较简单，下面大概说说tarjan算法吧：

【功能】

   Tarjan算法的用途之一是，求一个有向图G=(V,E)里极大强连通分量。强连通分量是指有向图G里顶点间能互相到达的子图。而如果一个强连通分量已经没有被其它强通分量完全包含的话，那么这个强连通分量就是极大强连通分量。

【算法思想】

   用dfs遍历G中的每个顶点，通dfn[i]表示dfs时达到顶点i的时间，low[i]表示i所能直接或间接达到时间最小的顶点。(实际操作中low[i]不一定最小，但不会影响程序的最终结果)

   程序开始时，time初始化为0，在dfs遍历到v时，low[v]=dfn[v]=time++，

v入栈（这里的栈不是dfs的递归时系统弄出来的栈）扫描一遍v所能直接达到的顶点k，如果k没有被访问过那么先dfs遍历k，low[v]=min(low[v],low[k])；如果k在栈里，那么low[v]=min(low[v],dfn[k])(就是这里使得low[v]不一定最小，但不会影响到这里的low[v]会小于dfn[v])。扫描完所有的k以后，如果low[v]=dfn[v]时，栈里v以及v以上的顶点全部出栈，且刚刚出栈的就是一个极大强连通分量。

【大概的证明】

 1． 在栈里，当dfs遍历到v，而且已经遍历完v所能直接到达的顶点时，low[v]=dfn[v]时，v一定能到达栈里v上面的顶点：

   因为当dfs遍历到v，而且已经dfs递归调用完v所能直接到达的顶点时（假设上面没有low=dfn），这时如果发现low[v]=dfn[v]，栈上面的顶点一定是刚才从顶点v递归调用时进栈的，所以v一定能够到达那些顶点。

 

2 .dfs遍历时，如果已经遍历完v所能直接到达的顶点而low[v]=dfn[v]，我们知道v一定能到达栈里v上面的顶点，这些顶点的low一定小于自己的dfn，不然就会出栈了，也不会小于dfn[v],不然low [v]一定小于dfn[v],所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个强连通分量，如果它不是极大强连通分量的话low[v]也一定小于dfn[v]（这里不再详细说），所以栈里v以其v以上的顶点组成的子图是一个极大强连通分量。

【时间复杂度】

    因为所有的点都刚好进过一次栈，所有的边都访问的过一次，所以时间复杂度为O（n+m）

 

【参考代码（pascal）】

  

type
  emap=record  //边表
   v1,v2,next:longint;
  end;
  vmap=record  //first表示顶点v的第一条边在边表的位置，last表示最后一条边的位置
   first,last:longint;
  end;
var
  e:Array[1..10000] of emap;
  a:array[1..100] of vmap;
  dfn,low:array[1..100] oflongint;
 i,j,n,m,v1,v2,ei,zi,time:longint;  //zi表示栈中元素的数量，time表示dfs的时间
  zhan:Array[1..1000] oflongint; //栈堆
  visit:array[1..100] ofboolean; //true表示有被dfs遍历过
  zvisit:array[1..100] of longint;//表示顶点v在栈中的什么位置
functionmin(a,b:longint):longint;
begin
  if a<b then exit(a)else exit(b);
end;
procedurepush(v:longint); //把v进栈
begin
  inc(zi);
  zvisit[v]:=zi;
  zhan[zi]:=v;
end;
procedurechuzhan(v:longint);   //把v以及v以上的全部出栈
var
  lin:longint;
begin
  lin:=zvisit[v];
  for i:=lin to zi do
  begin
    ifi=zi then writeln(zhan[i])
   else write(zhan[i],' ');
   zvisit[zhan[i]]:=0;
  end;
  zi:=lin-1;
end;
proceduredfs(v:longint);
var
  i,j,zhi,k:longint;
begin
  inc(time);
  dfn[v]:=time; low[v]:=time;
  zhi:=a[v].first;
  visit[v]:=true;
  push(v);
  whilezhi<>-1 do
  begin
   k:=e[zhi].v2;
    ifnot visit[k] then   //如果k没有被访问过
   begin
     dfs(k);    //dfs遍历k
     low[v]:=min(low[v],low[k]); 
   end else
    if (zvisit[k]>0)then   //如果k在栈里
   low[v]:=min(low[v],dfn[k]);
   zhi:=e[zhi].next;
  end;
  if low[v]=dfn[v] then
   chuzhan(v);     //把v及以上的顶点出栈并输出
end;
begin
  readln(n,m);  //读入顶点数和边数
  for i:=1 to n doa[i].first:=-1;
  ei:=0;
  for i:=1 to m do   //读入边，并把它保存到特殊边表里
  begin
   readln(v1,v2);
    ifa[v1].first=-1 then
   begin
     inc(ei);
     e[ei].v1:=v1; e[ei].v2:=v2;
     e[ei].next:=-1;
     a[v1].first:=ei; a[v1].last:=ei;
   end else
   begin
     inc(ei);
     e[ei].v1:=v1; e[ei].v2:=v2;
     e[ei].next:=-1;
     e[a[v1].last].next:=ei;
     a[v1].last:=ei;
   end;
  end;
 fillchar(visit,sizeof(visit),false);    //初始化全部都没有被访问过
 fillchar(zvisit,sizeof(zvisit),0);    //初始化全部都不在栈里
  time:=0;  zi:=0;  //初始化时间为0，栈为空
  for i:=1 to n do  //预防顶点1不能到达所有的点
  begin
    ifnot visit[i] then
   dfs(i);
  end;
end.

以上代码纯属照写，经优化后的核心代码：

functiongetfather(dep:longint):longint;
begin
  if father[dep]=dep then exit(dep);
  getfather:=getfather(father[dep]);
  father[dep]:=getfather;
end;
procedure dfs(dep:longint);
var
  i,j,v2:longint;
begin
  inc(time);
  low[dep]:=time;
  check[dep]:=true; zhan[dep]:=true;
  for i:=1 to n do
  begin
    if map[dep,i]=1 then
    begin
      if notcheck[i] then dfs(i);
      v2:=getfather(i);
      ifzhan[v2] then
      iflow[v2]<low[dep] then begin
       low[dep]:=low[v2];
       father[dep]:=v2;
     end;
    end;
  end;
  zhan[dep]:=false;
end;