HDU 3555 我的第一道数位DP

最新推荐文章于 2022-04-05 09:12:07 发布

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本文介绍一种使用动态规划解决计数问题的方法，具体针对找出0到n范围内包含数字49的所有整数的数量。通过定义不同状态并进行状态转移，实现高效计算。

题意就是找0到n有多少个数中含有49。数据范围接近10^20

DP的状态是2维的dp[len][3]
dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数

状态转移如下
dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1]; // not include 49 如果不含49且，在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
dp[i][1] = dp[i-1][0]; // not include 49 but starts with 9 这个直接在不含49的数上填个9就行了
dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; // include 49 已经含有49的数可以填0-9，或者9开头的填4

接着就是从高位开始统计

在统计到某一位的时候，加上 dp[i-1][2] * digit[i] 是显然对的，因为这一位可以填 0 - (digit[i]-1)
若这一位之前挨着49，那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然对的。
若这一位之前没有挨着49，但是digit[i]比4大，那么当这一位填4的时候，就得加上dp[i-1][1]

代码如下

 
         #include<iostream>
        
         #include<cstring>
        
         #include<cstdio>
        
         using 
         namespace 
         std;
        
         long 
         long 
         dp[20][3];
        
         int 
         digit[20];
        
         int 
         main()
        
         {
        
         memset
         (dp,0,
         sizeof
         (dp));
        
         dp[0][0] = 1;
        
         for
         (
         int 
         i=1; i<20; i++)
        
         {
        
         dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1];  
         // not include 49
        
         dp[i][1] = dp[i-1][0];  
         // not include 49 but starts with 9
        
         dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; 
         // include 49
        
         }
        
         int 
         t;
        
         cin >> t;
        
         while
         (t--)
        
         {
        
         int 
         len = 0,last=0;
        
         long 
         long 
         ans = 0;
        
         unsigned 
         long 
         long 
         n=0;
        
         cin >> n;
        
         n++;
        
         memset
         (digit,0,
         sizeof
         (digit));
        
         while
         (n)
        
         {
        
         digit[++len] = n%10;
        
         n/=10;
        
         }
        
         bool 
         flag = 
         false
         ;
        
         for
         (
         int 
         i =len; i>=1; i--)
        
         {
        
         ans += dp[i-1][2] * digit[i];
        
         if
         (flag)
        
         ans += dp[i-1][0] * digit[i];
        
         if
         (!flag && digit[i] >4)
        
         ans += dp[i-1][1];
        
         if
         (last == 4 && digit[i] == 9)
        
         flag = 
         true
         ;
        
         last = digit[i];
        
         }
        
         cout << ans << endl;
        
         }
        
         return 
         0;
        
         }