个人学习数据结构的小总结

什么是数据结构

不是研究数据的计算的学科，而是研究数据之间关系的学科

数据结构相关术语

数据：大自然中的数字、符号图像、音频、视频都被看作数
数据段：某个事物其中的一个数据（类似结构的成员）
元素：某个事物的一个完整数据（类似结构体变量）
数据结构：由元素+元素关系而组成后的一个整体，叫数据结构（如栈、队列）
算法:数据结构所具备的功能

数据的逻辑结构

集合:元素之间除了同处一个整体，没有其他关系，类似数组。
表：元素之间存在一对一关系。顺序表（数组）、链式表
树：元素之间存在一对多关系。
图：元素之间存在多对多。
同属于数组可以是集合也可以是表，就看配合什么算法。

数据的物理结构/存储结构

顺序表

元素存储在一整块连接的内存中，根据前后位置来确定逻辑关系。
顺序表结构：元素存储在一整块连续的内存中。

 优点：
	访问速度快（随机）
	可以用各种算法排序
	可以使用二分查找
	不容易产生内存碎片
 缺点：
	插入、删除元素麻烦
	对内存的要求高，需要一整块连续的内存

操作有:创建、销毁、增删改查（按值、按下标两种版本）、插入、二分查找、冒泡排序、访问元素（根据下标）、遍历
其实就是数组，在顺序表里数据已经有序的情况下，使用二分查找效率会快些。

链表

链表的特点

每个元素随机存储在内存中，元素中有一块指针域（一个或多个指针），它们负责指向与元素有关系的其他元素，链表的每一个元素称之为节点。每一个节点还有其数据域，数据域可以是一个或多个变量也可以是一个结构体。
指针域有一个指针的是单向链表，两个的是双向链表。每一个节点在内存中位置是随机的不是连续的。由指针连起来的链式结构叫链表。链表设计有头和尾，方便添加。添加不可能失败，因为每添加一次都是创建一个节点，也就是申请一个节点的内存，理论上内存不够会导致添加失败，但是内存不够程序都跑不了了，所以说不可能添加失败。销毁，一直删除，直到链表为空。头为空，链表就是空。头删除，拷贝一个头节点，如果头尾相同就头尾置空，不然就是把头指向拷贝的下一个节点，再把拷贝free掉。尾删除类似。链表销毁需要把所有数据给清掉再free掉，顺序表不需要。头节点为空就代表链表为空

链表定义、优缺点以及操作

定义:由分布在内存不同位置的节点（元素），通过成员指针所连接起来的表结构，元素之间存在一对一关系。
优点：对内存要求不高，可以使用小块内存。插入以及删除方便。可以根据元素的数量，动态调整链表的长度，节约内存。可以无限的添加元素（学员、教师的添加）。
缺点：频繁的插入、删除节点可能会产生内在碎片。不能随机访问，只能从头节点挨个遍历，因此访问速度慢。

操作：创建、销毁、添加（节点，这是数据和链表为参数）、制造节点（这是数据为参数）、头删除（如果为空不能删）、尾删除（如果为空不能删）、链表空的判断、按位置修改、按值修改、按值查询（链表不能二分查找，只能顺序查找）、访问（按照下标访问）、长度、遍历

其他链表

不带头节点的链表

带头节点的链表
使用带头节点版本的链表就不需要二级指针了。使用该版本头添加变得简易

双向链表
一开始创建头节点的前指针和后指针都指向头节点，末尾节点把后指针指向头，首节点的前指针指向头节点

链表内核特殊版

功能受限的表结构

栈

是功能受限的表结构，先进后出FILO，只有一个端口进出元素。
常考问题：输入两个序列，第一个是入栈序列，判断第二个序列能否是出栈序列。

栈的应用：
1.栈内存的管理（函数调用）（函数最后调用的第一个返回的原因）
2.表达式的解析

栈相关操作：
创建、销毁、入栈、出栈、查看栈顶、输入两序列判断第二序列能否是第一序列的出栈顺序、判断栈满、判断栈空、查看栈中元素数量。

链式栈:
首先是栈，即特性同栈，但是结构是链式，所以元素都是有指向下一个元素的指针以及本元素的数据。
操作就是栈和链表的结合。因为是链表的栈，所以不存在栈满。和之前的栈比起来只是少了个栈满的函数。入栈是不可能失败的，所以入栈函数返回值为空而不是bool。出栈的返回值是布尔类型，即使在函数里返回的值不是true或false，只要返回值不为0，那就转换成true。由于栈有先进后出的特点，入栈的元素的next都是指向前一个元素而不是后一个元素。

队列

是功能受限的表结构，有两个端口进出数据，一个只能进一个只能出。先进先出FIFO，有一个队首指针和一个队尾指针，每加入一个元素队尾后移，每删除一个元素队首后移，当队首位置等于队尾位置说明队列为空，当(队尾+1)%长度==队首可以判断是否队满。元素数量计算。想象成一个圈有助于理解。出队队头后移，计算方式（队头+1）%长度。查看队尾，（队尾-1+长度）%长度
操作：创建、销毁、入队、出队、查看队首、查看队尾（查看元素的下标是队尾-1+len的和取余len）、元素个数（尾巴减去头加长度取余长度）、判断队满（元素个数等于长度）、判断队空。队列长度要多给一个，所以赋值len要＋1，申请arr内存需要用TYPE*(len+1)。

如何用两个栈模拟一个队列

输入1234进入第一个栈
然后每出栈一个元素就把这个元素入栈到另一个栈里
出栈4321
栈2:4321
再用栈2出栈就又是
1234了，满足先进先出。

树型结构

元素之间存在一对多的数据结构，适合存储具有层次关系的数据模型：如文件树、组织关系、族谱。

树的相关术语

根节点：树的最顶层结点，一棵树最多只有一个根结点。
双亲结点、父节点：结点的上一层结点，一个节点只有唯一一个双亲结点。
子节点：节点的下一层节点，可以有若干个。
叶子节点：没有子节点的节点。
树的高度：树的层数。
树的密度:节点的数量。

树的种类

普通树：只有一个双节点，子节点数量任意
B树\AVL树：多路平衡查找树
多路：最多有M个子节点
平衡:所有字树高度差不超过1。
查找：所有节点是有序的
二叉树:一个结点最多两个节点
B树和B+树了解即可，普通树一般转化成二叉树研究

二叉树的种类

满二叉树：除了最后一层无任何子节点外，每一个结点都有两个子节点，每一层的数量是2^{(n-1)，总节点数是2}n-1
完全二叉树：除了最后一层外的所有层的结点数是：2^(n-1)。最后一层的结点按照从左到右的顺序排列。
有序二叉树:左子结点比跟结点小，右子结点比根节点大。所有节点都遵循这个规则。
线索二叉树:给普通二叉树节点增加线索，使其能够使用循环遍历，提高遍历速度。
哈夫曼树:带权重的二叉树
平衡二叉树:左右子树高度差不超过1的的二叉树。
红黑树:接近于平衡的二叉树，伪平衡二叉树
堆:
大根堆：双亲结点比左右子节点都要大。
小根堆：双亲结点比左右子节点小。

二叉树的性质

 性质1：在二叉树的第 i 层上至多有2^(i-1)个结点
 性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点
 性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
    n0+n1+n2 = n
    n1+n2*2 = n-1
	性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为[log(n)]+1([x]表示不大于x的最大整数)
	性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log(n)]+1)的结点按层序编号(从第1层到第[log(n)]+1层，每层从左到右)，对任一结点i(1<=i<=n)有：
    	(1).如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点[i/2]
    	(2).如果2i>n，则结点i无左孩子(结点i为叶子结点)；否则其左孩子是结点2i
    	(3).如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

二叉树的遍历

前序：根 左 右
中序：左 根 右
后序：左 右 根

以下面的二叉树为例:
      A
     / \
    B   C
   /   / \
  D   E   F
 / \   \
G   H   J
  /
 I

前序遍历:第一个元素为根节点
A B D G H I C E J F
A B D G # # H I # # # # C E # J # # F # #
后序遍历:最后一个元素为根节点
G I H D B J E F C A
中序遍历：根节点左边的都是左子树，右边的都是右子树。
G D I H B A E J C F
所有子树都要遵循这个规则，要把每个节点当成一棵树看待
1.根据二叉树写出前中后遍历顺序
2.根据前序+中序 中序＋后序 还原二叉树
层序：从上到下，从左到右。一层一层从左往右输出。

有序二叉树

左右子树与根结点的关系必须满足：左 < 根 < 右
没有键值相等的节点
当采用中序遍历时有序二叉树的遍历结果是从小到大的。
当它结点均匀、平衡，查找效率接近二分查找，
如果不均匀且呈单支状分布它查找的效率接近链表。
注意：创建有序二叉树的目的是为了能够借助它的二分查找特性，快速查找数据。

线索二叉树

当结点的右子树为空时，让它指向即将要访问的下一个结点，然后就可以使用循环来遍历这棵树，提高遍历的效率。
注：不用深入研究，顶多一道选择题

堆

堆是一种特殊的二叉树，它对结点的位置不做要求，所以一般以完全二叉树或满二叉来存储它。一般堆采用顺序的方式存储，故访问下标查找数据。

哈夫曼树

结点由数据+权重(数据出现的概率)组成，权重越高结点的层数越小。
创建过程：
1、把所有的数据和权重创建成结点(子树)，也被称为创建森林。
2、然后根据权重排序，把权重最小的两棵子树合并形成新的子树，并成为它的左右子树。
3、再把新合并的子树与现在的森林进行排序，重复2上步骤，直到没有子树。
4、记录每个带数据的结点，从根据结点访问的路径，生成哈夫曼编码，由0和1组成，0表示走了左子树，1表示走了右子树。
5、在之后存储数据时，用它的哈夫曼编码共代替数据，达到压缩数据的目的。
6、根据哈夫曼编码，从哈夫曼树中找到对应数据的过程叫解压数据。

平衡二叉树/AVL树

平衡二叉树(AVL)首先是一棵有序二叉树，为了解决有序二叉树不均匀导致查询速度过低，而调整它左右平衡，使有序二叉树以最快的速度查询数据。

二叉树的链式存储

使用链式队列
每个节点（元素）由三个部分组成
值
左子树指针
右子树指针

优点：能清晰的表示树的结构，对内存要求低，节约内存
缺点：只能逐级访问，递归遍历，可能产生内存碎片。

二叉树的顺序存储

注意：需要把普通二叉树补全为完全二叉树。
[] [#][] [#][#][][] [][][][][][][]

用顺序存储的方式存储完全二叉树还能用来存满二叉树，使用以下公式遍历
i是当前节点的下表
前提：节点的下标从1开始排列
i/2 = 父节点下标        
i*2 = 左子节点下标
i*2+1 = 右子节点下标

前提：节点的下标从0开始排列
(i+1)/2 = 父节点下标        
(i+1)*2 = 左子节点下标
(i+1)*2+1 = 右子节点下标
优点：创建树方便，计算高度、密度速度快，使用的整块内存不易产生内存碎片。

缺点：对内存的要求高，当树比较稀疏时，对内存浪费极高，转换成完全二叉树时麻烦。

图

图与树、表的差别

表结构：数据元素之间存在线性关系，每个数据元素只可能有一个前驱和一个后继（一对一）。
树结构：数据元素之间存在层次关系，上一层的数据元素可以和下一层的多个数据元素存在关系（一对多）。
图结构：任意两个数据元素之间都可能存在关系，可以是多对多的关系。

图的相关术语

顶点：在图型结构中，数据元素被称为顶点。
弧：从顶点V1出发，可以到达顶点V2，这种关系被称为弧，用<V1,V2>表示，V1被称为弧尾，V2被称为弧头，这种图被称为有向图。
边：从顶点V1可以到达顶点V2，顶点V2可以到达顶点V1，这种关系被称为边，用(V1,V2)，这种图被称为无向图。
注意：图型结构不讨论顶点到自身的边或弧。

如果用n表示顶点的数量，e表示边或弧的数量：
    有向图的e的取值范围：[0,(n-1)*n]，如果e的数量是(n-1)*n，这种图叫完全有向图。
    无向图的e的取值范围：[0,(n-1)*n/2]，如果e的数量是(n-1)*n/2，这种图叫完全无向图。
    e < nlogn 这种图被称为稀疏图，反之被称为稠密图。

如果图的弧或边具有相关数据，这种与弧或边相关的数据叫权或权重，可看作是一个顶点到另一个顶点的消耗，带权的图称为网。

假设有两个图：G1 = (V1,{E1}) , G2 = (V2,{E2}) 
    如果V1是V2的子集且E1是E2的子集，则称G1是G2的子图。

图的种类

无向图：
    如果图中有一条边(V1,V2)，则称V1，V2互为邻接点，即V1，V2相邻，或者说边(V1,V2)依附于V1，V2，又或者说V1，V2相关联。
    与顶点V1相关联的顶点的数量，被称为V1的度。

有向图：
    如果图中有一条弧<V1,V2>，则称顶点V1邻接到顶点V2，顶点V2邻接自顶点V1。
    以顶点V1作为弧尾的弧的数量，被称为V1的出度。
    以顶点V1作为弧头的弧的数量，被称为V1的入度。

有图G = (V,{E})，顶点V1到Vj的路径是一个顶点序列(V1,V2,...Vj)。
    1、如果V1就是Vj,且边或弧的数量等于顶点数，该路径称为回路或环。
    2、序列中的顶点不重复出现和路径称为简单路径。
    3、除了每个顶点和最后一个顶点，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路。

在无向图G中，如果V1到V2有路径，则称V1和V2是连通的，如果图中的任意两个顶点都是连通的，则称G是连通图。如果G1不是连通图，而G是它的子图，则称G是G1的连通分量，也叫极大连通子图。

在有向图G中，如果任意一对顶点Vi,Vj，从Vi到Vj和Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。如果G1不是强连通图，而G是它的子图，则称G是G1的强连通分量，也叫极大强连通子图。

一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它包含图中的全部顶点，但只有n-1条边，如果在一棵生成树上再加一条边，必定构成一个环。
一棵有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边。
但有n-1条边的图不一定是生成树。

图的存储

邻接矩阵：由顶点表和边表组成
    [A][B][C][D][E][F][G]   顶点表
    [0][0][0][0][0][0][1] //[A] 边表
    [0][0][0][0][0][0][0] //[B]
    [1][0][0][0][0][0][0] //[C]
    [0][0][0][0][0][0][0] //[D]
    [0][0][0][0][0][0][0] //[E]
    [0][0][0][0][0][0][0] //[F]
    [1][0][0][0][0][0][0] //[G]
优点：
    计算出度、入度方便。 
缺点：
    添加删除麻烦，如果是稀疏图，非常浪费存储空间。
    
邻接表：
    顶点[数据][第一条边指针]    边结点 [顶点下标][下一条边指针]

    [A]->  1->  3-> 
    [B]->  4->  3-> 
    [C]->  3->  
    [D]->  2->  3-> 
    [E]->  3->  0-> 
    [F]->  4-> 
    是一种顺序+链式混合存储结构
优点：节约存储空间
缺点：计算入度不方便

十字链表：
     顶点[数据][弧头第一条边指针][弧尾第一条边指针]     边结点 [入顶点下标][出顶点下标][弧头相同指针][弧尾相同指针]
优点：在邻接的基础进行了拓展，既能节约存储空间，也能方便计算入度。

图的遍历

深度优先：DFS
广度优先：BFS
遍历顺序不是唯一的，会受到顶点顺序和边的添加顺序的影响。

算法

算法的概念以及术语

算法：
广义：解决特定问题的方法。
狭义：数据结构具备的功能。

算法的特征：
有穷性、确切性、输入项、输出项、可行性

算法的评定：
正确性、时间复杂度、空间复杂度、可读性、健壮性

时间复杂度：
一个用于描述算法在执行时，随着输入参数数量的变化，而执次数发生变化的函数。
一般采用大O表示法：O(函数)

常见的时间杂度：
常数阶 O(1)
对数阶 O(logn)
线性阶 O(n)
线性对数阶 O(nlogn)
平方阶 O(n?)
指数阶 O(2^n)

空间复杂度：
一个用于描述算法在执行时，随着输入参数数量的变化，而需要存储空间发生变化的函数。

常见的空间复杂度：
O(1)、O(n)、O(2n)、O(n?)

查找算法

顺序查找：时间复杂度O（n），顺序查找适合于存储结构为顺序存储或链接存储的线性表。就是一个一个找，找到相同的返回。当待查表中的记录个数较少时，采用顺序查找。无序表短用顺序，对待查找数据没有要求。

二分查找：元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。最坏情况下，关键词比较次数为O(logn)，且期望时间复杂度为O(log2n)。对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说不建议使用。有序表短用二分。

插值查找：基于二分查找算法，可以提高查找效率。当然，差值查找也属于有序查找。对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。有序表长用插值。

分块查找：分块查找数据量较大的线性表时优越性更突出。无序表长用分块。

哈希查找：空间换效率，效率高，但是耗费空间。数据量大时或者追求效率使用。 首先要创建哈希表，创建哈希表的前提是对数据有一定了解。创建哈希表最重要的就是解决数据冲突问题，没有固定统一的方法，要根据数据的特性找到合适的方法。一旦哈希表创建完成它查找的时间复杂度接近O(1)。速度虽然很快，但有很大的局限性。

块查找：
当面对海量数据时，可以根据数据的特性，把数据分块、再分块降低数据规模，再使用以查找算法查找数据。

10大排序算法

两大类：
比较类排序：交换排序、插入排序、选择排序、归并排序
非比较类排序：计数排序、桶排序、基数排序

细分：
交换排序：冒泡排序、快速排序
插入排序：简单插入排序、希尔排序
选择排序：简单选择排序、堆排序
归并排序：二路归并排序、多路归并排序

复杂度：

排序方法	时间复杂度（均）	时间复杂度（max）	时间复杂度（min）	空间复杂度       稳定性
冒泡排序	 O(n^2)		     O(n^2)					O(n)				O(1)	      稳定	
快速排序	 O(nlog2n)	     O(n^2)					O(nlog2n)			O(nlog2n)     不稳定	
插入排序	 O(n^2)		     O(n^2)					O(n)				O(1)	      稳定	
希尔排序	 O(nlog2n)	     O(n^2)					O(n)				O(1)	      不稳定	
选择排序	 O(n^2)		     O(n^2)					O(n^2)				O(1)	      不稳定	
堆排序	 O(nlog2n)	     O(nlog2n)				O(nlog2n)			O(1)	      不稳定	
归并排序	 O(nlog2n)	     O(nlog2n)				O(nlog2n)			O(n)	      稳定	
计数排序	 O(n+k)		     O(n+k)					O(n+k)				O(n+k)	      稳定
桶排序	 O(n+k)			 O(n^2)					O(n)				O(n+k)	      稳定
基数排序	 O(n*k)		     O(n*k)					O(n*k)				O(n+k)	      稳定	

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面。
不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面。
时间复杂度：对排序数据的总的操作次数。反映当n变化时，操作次数呈现什么规律。
空间复杂度：是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量，它也是数据规模n的函数。

各种排序算法的应用场合和优缺点:

冒泡排序：可以增加一个标记flag用于查看每次循环是否交换了元素，如果没有，就说明序列已经有序了，这样就不用进行完所有循环了。是个对顺序有序敏感的排序算法。缺点慢，优点稳定。

快速排序：速度比冒泡快和插入排序快，但是数量少的时候浪费空间，比较适合数据多些的时候使用。极快，但不稳定。

插入排序：比选择要快且稳定，插入基本代替选择，除非解决的问题本身不是很需要速度，那么选择排序就好，因为选择稳定。数据量大时不建议使用。数据的交换次数少，适合对有序的数据添加新的数据。

希尔排序：在插入排序的基础添加增量概念，提高了数据到达合适位置的速度。数量级在几万，我们结合Sedgewick增量序列使用希尔排序还是很划算的，快但不稳定。

选择排序：总是比较n*(n-1)/2次，重在时间可计算，稳定，缺点是比较次数多。如果待排序的数据字节较多，选择排序是一个不错的方案。

堆排序：对于较大的序列，将表现出优越的性能。把数据看作完全二叉树，然后把这个二叉树调整为大根堆，然后把堆顶的数据交换到末尾，再把二叉树的数量-1，再调整为大根堆，直到二叉树的数量为1，排序完成。

归并排序：很耗时，所以归并排序一般用于外排序。对数据的有序性不敏感。若数据节点数据量大，那将不适合。但可改造成索引操作，效果将非常出色。

计数排序：数值的区间不能太大，太散。在满足此条件的情况下，计数排序效率非常高，有N+K的时间复杂度

桶排序：将元素根据数值的区间分成多块区域，每个区域再调用其他的排序算法进行排序，比如：1000个数据，先根据大小划分到5个桶，每个桶装的都是差值200以内的元素，把每个桶的元素都排好序，所有元素就排好了。这种排序本质依靠其他排序算法，在数据量大的时候挺不错。

基数排序：不大了解