【51nod 1684】子集价值【DP】【拆括号的技巧】

Description

给出⼀种新的按位运算 ‘#’ 的真值表
定义⼀个序列的价值为序列中所有数从左向右进行’#’ 运算得到的值给定⼤小为 n 的序列列 a[]，求它的 2^n-1 个⾮空子序列的价值平⽅和
n <= 50000, a[i] < 2^30

Soultion

　　我们考虑一个这样的$S^2=(a_{c1}$ # $a_{c2}$ #$……)^2$
　　将$S$表示成二进制$(x_1x_2……)_2$
　　我们将x分解是二的幂次，若$S　and　2^i$为0，则$x_i=0$，否则$x_i=2^i$
　　那么我们将$S^2$分解后可以得到如下形式$(x_0+x_1+...x_{p-1})^2$。
　　再分解上式得到$x_0^2+x_0x_1+...+x_0x_{k-1}+x_1x_0+x_1^2+...+x_1x_{p-1}+...+$。
　　
　　我们发现这个式子中最多只与两个位有关。
　　因此我们可以递推，就是只考虑所有这样的$S$中第i位和第j位的累和。每次枚举i和j（$O(p^2)$），表示选择了第i位和第j位，令dp[0/1][0/1]表示通过新的位运算后，到当前枚举的位置，第i位为0/1，第j位为0/1的方案总数。
　　
　　因为只有i和j都为1时相乘才为1，所以最后将2^(i+j)乘上dp[1][1]就是对答案的贡献了。
　　只需将这些贡献累计起来就是答案了。
　　总复杂度为$O(p^2n)$。

Summary

　　做带有平方的题目可以考虑将平方分解。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define N 50100
#define mod 1000000007
using namespace std;

int to[2][2],f[N][2][2],a[N];
int n,p;

void M(int &x) {if(x >= mod) x -= mod;}
int get(int p1,int p2)
{
    memset(f,0,sizeof(f));
    for(register int k = 1;k <= n;k++) {
        int n1 = (a[k]>>p1)&1,n2 = (a[k]>>p2)&1;
        M(++f[k][n1][n2]);
        for(int i = 0;i < 2;i++)
            for(int j = 0;j < 2;j++) {
                M( f[k][to[i][n1]][to[j][n2]] += f[k-1][i][j] );
                M( f[k][i][j] += f[k-1][i][j] );
            }
    }
    return f[n][1][1];
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    for(int i = 0;i < 2;i++) for(int j = 0;j < 2;j++) scanf("%d",&to[i][j]);
    for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    int ans = 0;
    for(int i = 0;i < p;i++)
        for(int j = 0;j < p;j++)
            ans = (ans + (1ll<<(i+j)) % mod * get(i,j)) % mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}