线性代数基本公式结论简要总结(1)-优快云博客

这两天在结合教材和MIT公开课的视频复习线代，希望能够在短时间内捡起两年前学过的东西。当时线代给我的最大感觉就是十分抽象，总是毫无道理地就给出一堆定义、概念和一些奇怪的公式推演，平时做的书后题和考试题大多数有很强技巧性的各种计算，最后感觉学到的全都是各种“毫无关联”的概念、公式和计算套路。

因此最近复习时，着重思考和查找了许多概念之间存在的联系，以及它们的内在意义和常见应用场景，总结在博客的“线性代数”这一类别下。本文主要整理一些基本的公式和结论。

线性方程组：

行初等变换：倍加，（行）对换，倍乘。变换前后的矩阵行等价

若两个方程组的增广矩阵行等价，则具有相同的解集

矩阵Ａ中主元的位置是Ａ中对应于它的阶梯行矩阵先导元素的位置（每列主元pivot的下方元素均为0，主元所在行的左侧元素均为0）

线性方程组的解包括：基本变量（主元列对应的未知量）和自由变量（非主元列对应的未知量）

线性方程组Ax=b 解的存在与唯一性定理：（即方程组相容的充要条件）增广矩阵的最右列不是主元列（即化简后没有形如：[0,0…0,b] 且b != 0的行）
若有解（相容），则：1.若无自由变量，有唯一解
　　　　　　　　　　2.若有自由变量，有无穷多解

Span{u,v}：表示有向量u,v及其线性组合构成的向量集合（包含0向量）

方程Ax=b有解 <=> b是A中各列的线性组合。即矩阵A与向量x相乘，相当于以x中各元素值作为A的各个列向量的权重，对A的各个列向量作线性组合，得到向量b。若A为方阵，则(Ax)的几何意义是：利用矩阵A(m×m)对m维空间中的向量x做一个变换，变换后x的投影为b，仍在m为空间，且变换实际上是对x的长度的方向做了改变。（其几何意义对于理解特征值和特征向量很有帮助）

对于齐次线性方程组 Ax=0，均存在一个解：向量0，称作平凡解。当且仅当方程至少有一个自有变量时（即A的列向量组线性相关时），它有非平凡解。即齐次线性方程组要么仅有0解，要么有无穷多解。在几何意义上，含有非平凡解的齐次解相当于在空间中通过原点的一个“平面”，这个“平面”恰由方程组的基础解系（解集的极大线性无关组）的所有线性组合构成。对于非齐次线性方程组：Ax=b，解集为Ax=0的齐次解加上一个特解，几何上是不过原点的平面。

相容方程组的求解并把解集用参数向量表示，步骤如下：
1.把增广矩阵行化简为简化阶梯形矩阵
2.把每个基本变量用自有变量表示
3.把一般解x表示成向量，若有自由变量，其元素依赖自由变量
4.把x分解为向量的线性组合，组合系数为设定的常数，最终用自由变量作为参数

一组向量{ ${v_i}$ }线性无关定义：若向量方程 $x_1v_1+...+x_pv_p=0$ 仅有平凡解，则x中的各个（列）向量线性无关。若存在不为0的权值 $c_1...c_p$ 满足 $c_1v_1+...+c_pv_p=0$ ，则它们线性相关。

$R^n$ 中任意向量组{ $v_1...v_p$ }，当p>n时线性相关。

若向量组{ $v_1...v_p$ }包含0向量，则它们线性相关。

线性变换：

之前在理解方程组时，把矩阵A与向量x相乘看做是对A中各列向量的线性组合。除此之外，矩阵乘以向量，也就是对向量做一个线性变换，还有着更加鲜明的几何意义。（这种几何意义可以直接应用在图像处理和图形学中）

对于矩阵A(m×n)，Ax=b相当于矩阵A对 $R^n$ 空间中的向量x做一个变换，映射到 $R^m$ 空间中。由 $R^n$ 到 $R^m$ 的一个变换（或称映射、函数）T是一个规则，将向量x映射为另一维度空间中的向量T(x)。集合 $R^n$ 称为定义域， $R^m$ 为取值空间（或余定义域），T(x)称为x在T作用下的像，所有像T(x)的集合称为T的值域。从x映射到Ax即为一个矩阵变换。若A为方阵，则映射后的向量b仅仅是原向量x在长度和方向上的改变（拉伸和旋转）。