HDU 5528(Count a * b-反演)

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本文深入探讨了数论问题中复杂数学公式的应用，并结合算法优化技术，阐述了如何高效解决特定数论问题的策略与方法。通过详细解析公式推导过程，提供了一种简洁而高效的求解思路。此外，文章还引入了预处理质数表的技术，显著提高了算法执行效率，特别针对(O(sqrt{n}

已知 $f(n)=\sum_{0<=i<n}\sum_{0<=j<n}[ij\pmod n\ne 0]$
求 $g(n)=\sum\limits_{m|n}f(m)$ , $n<=10^9$

$\begin{align}f(n)&=n^2-\sum_i\sum_j[ij\pmod n= 0]\\ &=n^2-\sum_{d|n}\phi(n/d)d \end{align}$
$g(n)=\sum\limits_{m|n}f(m)=\sum\limits_{m|n}[m^2-\sum_{d|m}\phi(m/d)d ]$
后面部分交换求和顺序就是 $\sum\limits_{d|n}d\sum\limits_{\frac m d|\frac n d}\phi(m/d)=\sum\limits_{d|n}d*\frac n d=n\sum\limits_{d|n}=n\tau(n)$

最后 $g(n)=\sum\limits_{m|n}(m^2-n)$

然后这题 $O(sqrt(n))$ 过不去，所以要预处理质数表

$n=\prod\limits_{i=1}^n p_i^{k_i}$
则
$g(n)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{1-p_i^{2(ai+1)}}{1-p_i^2}-n\prod\limits_{i=1}^n(k_i+1)$

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=Pre[x];p;p=Next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=Next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,127,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define INF (2139062143)
#define F (100000007)
#define pb push_back
#define mp make_pair 
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case %d: %lld\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n-1) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n]<<endl;
#define PRi2D(a,n,m) For(i,n) { \
                        For(j,m-1) cout<<a[i][j]<<' ';\
                        cout<<a[i][m]<<endl; \
                        } 
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
int read()
{
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return x*f;
} 
#define MAXN (1000000)
int n,p[MAXN],tot;
bool b[MAXN]={0};
void make_prime(int n)
{
    tot=0;
    Fork(i,2,n)
    {
        if (!b[i]) p[++tot]=i;
        For(j,tot)
        {
            if (i*p[j]>n) break;
            b[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0) break;  
        }
    }
}
int main()
{
//  freopen("hdu5528.in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    make_prime((int)sqrt(1e9+0.5) );
    int T=read();
    while(T--) {

        ll n;
        ll ans;
        ans=1;
        n=read();
        ll tou=n; //nh(n)
        For(i,tot) {
            int t=p[i];
            if (t*t>n) break;
            if (n%t) continue; 
            int cnt=1;
            ll mul = t;
            while(n%t==0) ++cnt,mul*=t,n/=t;
            tou*=cnt;
            ll a=(mul-1)/(t-1),b=mul+1,c=t+1;
            //ans=a*b/c; 写法1
            //ans*=(a/c)*(b/c)*c+a%c*(b/c)+b%c*(a/c);   写法1的防溢出             
            if (a%c==0) ans*=a/c*b; //这个更直观
            else ans*=b/c*a;
        } 

        if (n>1) {
            tou*=2;
            ans*=(1+n*n);
        } 

        cout<<ans-tou<<endl;
    }


    return 0;
}