洛谷 P2371([国家集训队]墨墨的等式-背包)

nike0good

已于 2023-03-15 08:41:23 修改

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分类专栏：背包问题文章标签：算法

于 2023-03-15 08:40:41 首次发布

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文章描述了一个编程问题，要求编写程序找出满足特定条件的等式（关于整数加权和等于b的非负整数解）在给定范围内的解的数量。输入包括等式的项数n、权重a_i和范围[l,r]，输出是符合条件的b的个数。解决方案涉及到计算模运算下的最小合法解并使用动态规划来找到答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[国家集训队]墨墨的等式

题目描述

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究 $∑i=1naixi=b\sum_{i=1}^n a_ix_i=b$ 存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定 $a_{1\dots n}, l, r$ ，求出有多少 $b∈[l,r]b\in[l,r]$ 可以使等式存在非负整数解。

输入格式

第一行三个整数 $n, l, r$ 。

第二行 $n$ 个整数 $a1…na_{1\dots n}$ 。

输出格式

一行一个整数，表示有多少 $b∈[l,r]b\in[l,r]$ 可以使等式存在非负整数解。

样例 #1

样例输入 #1

2 5 10
3 5

样例输出 #1

提示

对于 $20%20\%$ 的数据， $\le 5$ ， $\le 10$ 。

对于 $40%40\%$ 的数据， $\le 10$ ， $\le 10^6$ 。

对于 $100%100\%$ 的数据， $\le 12$ ， $\le a_i \le 5\times 10^5$ ， $\le l \le r \le 10^{12}$ 。

设最小的 $a_i$ 为 $M$ ，考虑在%M意义下，取到每个数的最小值。
令 $f [i]$ 表示最小的 $\bmod M=i,p是合法解)$

#include<bits/stdc++.h> 
using namespace std;
#define For(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define Fork(i,k,n) for(int i=k;i<=n;i++)
#define ForkD(i,k,n) for(int i=n;i>=k;i--)
#define Rep(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define ForD(i,n) for(int i=n;i;i--)
#define RepD(i,n) for(int i=n;i>=0;i--)
#define Forp(x) for(int p=pre[x];p;p=next[p])
#define Forpiter(x) for(int &p=iter[x];p;p=next[p])  
#define Lson (o<<1)
#define Rson ((o<<1)+1)
#define MEM(a) memset(a,0,sizeof(a));
#define MEMI(a) memset(a,0x3f,sizeof(a));
#define MEMi(a) memset(a,128,sizeof(a));
#define MEMx(a,b) memset(a,b,sizeof(a));
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define F (1000000007)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
#define vi vector<int> 
#define pi pair<int,int>
#define SI(a) ((a).size())
#define Pr(kcase,ans) printf("Case #%d: %lld\n",kcase,ans);
#define PRi(a,n) For(i,n-1) cout<<a[i]<<' '; cout<<a[n]<<endl;
#define PRi2D(a,n,m) For(i,n) { \
						For(j,m-1) cout<<a[i][j]<<' ';\
						cout<<a[i][m]<<endl; \
						} 
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define gmax(a,b) a=max(a,b);
#define gmin(a,b) a=min(a,b);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
ll mul(ll a,ll b){return (a*b)%F;}
ll add(ll a,ll b){return (a+b)%F;}
ll sub(ll a,ll b){return ((a-b)%F+F)%F;}
void upd(ll &a,ll b){a=(a%F+b%F)%F;}
inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)) { x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
} 
#define MAXN (12+10)
ll v[MAXN];
ll f[500000+10],l,r;
int main()
{
//	freopen("D.in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	int n=read(),p=1;
	cin>>l>>r;
	For(i,n) {
		cin>>v[i];
		if(v[i]<v[p]) {
				p=i;
		}
	}
	const ll M=v[p];
	Rep(i,M) f[i]=-1e18;f[0]=0;
	For(i,n) {
		int ma=__gcd(v[i],M);
		Rep(j,ma) {
			for(int t=j,_=0;_<2;_+=t==j){
				int q=(t+v[i])%M;
				if(f[t]!=-1e18){
					if(f[q]==-1e18) f[q]=f[t]+v[i];
					else gmin(f[q],f[t]+v[i])
				}
				t=q;
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	Rep(i,M) {
		if(f[i]!=-1e18) {
			ll l2=max(f[i],l);
			if(l2<=r) {
				ans+=(r-f[i])/M+1;
				if(f[i]<l) {
					ans-=(l-1-f[i])/M+1;
				}
			}
		}
	} 
	cout<<ans;
	return 0;
}