并查集(Union-Find)算法全面详解

一、前言

在看一个算法题时，其中一种解法用到了并查集，并查集在《算法第四版——1.5案例研究： union-find 算法》中有讲解，这里按照自己的理解记录一下并查集。

 

二、用途

并查集用于判断连个点所在的集合是否属于同一个集合，若属于同一个集合但还未合并则将两个集合进行合并。同一个集合的意思是这两个点是连通的，直接相连或者通过其它点连通。

 

三、什么是并查集

并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，用并查集来描述可以很好的解决这类问题。并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。在处理并查集的时候需要用到动态连通性概念，那什么是动态连通性呢？

3.1 动态连通性

首先我们详细地说明一下问题：问题的输入是一列整数对，其中每个整数都表示一个某种类型的对象，一对整数pq可以被理解为"p和a是相连的"。我们假设“相连”是一种等价关系，这也就意味着它具有：

• 自反性：p和p是相连的；
• 对称性：如果p和q是相连的，那么q和p也是相连的；
• 传递性：如果p和q是相连的且q和r是相连的，那么p和r也是相连的。

等价关系能够将对象分为多个等价类。在这里，当且仅当两个对象相连时它们才属于同一个等价类。我们的目标是编写一个程序来过滤掉序列中所有无意义的整数对(两个整数均来自于同一个等价类中)。换句话说，当程序从输入中读取了整数对p q时，如果已知的所有整数对都不能说明p和q是相连的，那么则将这一对整数写入到输出中。如果已知的数据可以说明p和q是相连的，那么程序应该忽略pq这对整数并继续处理输入中的下一对整数。图1.5.1用一个例子说明了这个过程。为了达到所期望的效果，我们需要设计一个数据结构来保存程序已知的所有整数对的足够多的信息，并用它们来判断一对新对象是否是相连的。我们将这个问题通俗地叫做动态连通性问题。这个问题可能有以下应用。

3.1.1 网络

输入中的整数表示的可能是一个大型计算机网络中的计算机，而整数对则表示网络中的连接。这个程序能够判定我们是否需要在p和q之间架设一条新的连接才能进行通信，或是我们可以通过已有的连接在两者之间建立通信线路；或者这些整数表示的可能是电子电路中的触点，而整数对表示的是连接触点之间的电路；或者这些整数表示的可能是社交网络中的人，而整数对表示的是朋友关系。在此类应用中，我们可能需要处理数百万的对象和数十亿的连接。

3.1.2 变量名等价性

某些编程环境允许声明两个等价的变量名(指向同一个对象的多个引用)。在一系列这样的声明之后，系统需要能够判别两个给定的变量名是否等价。这种较早出现的应用(如FORTRAN语言)推动了我们即将讨论的算法的发展。

3.1.3 数学集合

在更高的抽象层次上，可以将输入的所有整数看做属于不同的数学集合。在处理一个整数对pq时，我们是在判断它们是否属于相同的集合。如果不是，我们会将p所属的集合和a所属的集合归并到同一个集合。

为了进一步限定话题，我们会在本节以下内容中使用网络方面的术语，将对象称为触点，将整数对称为连接，将等价类称为连通分量或是简称分量。简单起见，假设我们有用0到N-1的整数所表示的N个触点。

 

四、API

为了说明问题,我们设计了一份API来封装所需的基本操作：初始化、连接两个触点、判断包含某个触点的分量、判断两个触点是否存在于同一个分量之中以及返回所有分量的数量。详细的API如表1.5.1所示。

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