吉布斯采样与高斯分布推断实现

61、为单维高斯分布的推断实现吉布斯采样。为均值µ赋予一个宽泛的高斯先验，为精度参数β = 1/σ²赋予一个宽泛的伽马先验。每次对µ的更新都需要从高斯分布中采样，每次对σ的更新都需要从伽马分布中采样，请描述具体实现步骤。

单维高斯分布推断的吉布斯采样实现

• 给定单维高斯分布数据，需实现吉布斯采样进行参数推断
• 对参数 µ 的先验设置：
• 采用宽泛的高斯先验
• 对参数 β（或 σ）的先验设置：
• 采用宽泛的伽马先验
• 吉布斯采样更新步骤：
• 更新 µ 的采样：
  • 从高斯分布中采样
• 更新 σ 的采样：
  • 从伽马分布中采样

62、对一维高斯混合模型进行吉布斯采样。允许各聚类具有不同的标准差σk，为均值和标准差赋予先验。可以将各类别的先验概率{πk}固定为相等，或者对参数π设置均匀先验并将其纳入吉布斯采样。吉布斯采样与软K均值聚类算法相似，可先根据参数{µk, σk}分配类别标签{kn}，然后根据类别标签更新参数。分配步骤涉及从由责任定义的概率分布中采样，更新步骤使用以K均值算法的值为中心的概率分布来更新均值和方差。通过实验判断蒙特卡罗方法是否能绕过最大似然法的过拟合难题。

需进行相关实验来验证蒙特卡罗方法是否能绕过最大似然法的过拟合难题。

63、切片采样的多状态思路。维护一组S个状态向量{x(s)}，通过在由随机选取的另外两个状态向量x(v)和x(w)确定的方向y上进行一维切片采样来更新一个状态向量x(s)，并令y = x(v) - x(w)。在高度相关的多元高斯分布等简单问题上研究这种方法。已知如果S - 1小于维度数N，那么这种方法本身将是非遍历的，可能需要与其他方法结合使用。是否存在某些类型的问题，用这种切片采样方法比用标准的选择y的方法（如循环遍历坐标轴或从高斯分布中随机选取u）能更好地解决？

需进一步研究高度相关的多元高斯分布等简单问题，考虑 $ S - 1 $ 与维度数 $ N $ 的关系，结合其他方法，探索是否有该切片采样方法更适用的问题类型。

64、如何用一枚硬币为三个人创建随机排名？构建一个使用精确抽样的解决方案。例如，你可以将精确抽样应用于一个马尔可夫链，在该链中，硬币被交替重复使用，先决定是否交换第一和第二个人的顺序，然后决定是否交换第二和第三个人的顺序。

设三个人初始排名为 ABC，抛硬币：

• 若正面，则交换 AB 顺序，得到 BAC；
• 若反面，则顺序不变，仍为 ABC。

接着再抛硬币：

• 若正面，则交换当前顺序中第二和第三个人的顺序；
• 若反面，则顺序不变。

重复上述交替交换过程，直到达到所需的随机化程度。

65、本练习探讨了通过变分自由能最小化得到的近似分布往往比真实分布更紧凑这一论断。考虑一个二维高斯分布P(x)，其坐标轴与方向e(1) = (1, 1)和e(2) = (1, -1)对齐。设这两个方向上的方差分别为σ1²和