Python实现迪杰斯特拉算法

一、 迪杰斯特拉算法思想
Dijkstra算法主要针对的是有向图的单元最短路径问题，且不能出现权值为负的情况！Dijkstra算法类似于贪心算法，其应用根本在于最短路径的最优子结构性质。

最短路径的最优子结构性质：
如果P(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，k和s是这条路径上的一个中间顶点，那么P(k,s)必定是从k到s的最短路径。
证明：
假设P(i,j)={Vi…Vk…Vs…Vj}是从顶点i到j的最短路径，则有P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)。而P(k,s)不是从k到s的最短距离，那么必定存在另一条从k到s的最短路径P(k,s)，那么P(i,j)=P(i,k)+P(k,s)+P(s,j)<P(i,j)。则与P(i,j)是从i到j的最短路径相矛盾。因此该性质得证。

因此，Dijkstra算法描述如下：
Dijikstra算法描述如下：
假设存在G=<V,E>，源顶点为V₀，S={V₀},distance[i]记录V₀到i的最短距离，matrix[i][j]记录从i到j的边的权值，即两点之间的距离。
1）从V-S中选择使dist[i]值最小的顶点i，将i加入到U中；
2）更新与i直接相邻顶点的dist值。dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}
3）直到S=V，所有顶点都包含进来了，算法停止。

二、 具体操作步骤
根据其算法思想，确立操作步骤如下：
(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。
三、 Python源码
图使用邻接矩阵存储，本部分代码改编自巫泽俊《挑战程序设计竞赛第2版》

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
V = 7
# 标记数组：used[v]值为False说明改顶点还没有访问过，在S中，否则在U中！
used = [False for _ in range(V)]
# 距离数组：distance[i]表示从源点s到ｉ的最短距离，distance[s]=0
distance = [float('inf') for _ in range(V)]
# cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值，不存在时设为INF
cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]


def dijkstra(s):
    distance[s] = 0
    while True:
        # v在这里相当于是一个哨兵，对包含起点s做统一处理！
        v = -1
        # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for u in range(V):
            if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                v = u
        if v == -1:
            # 说明所有顶点都维护到S中了！
            break

        # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
        used[v] = True
        # 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
        for u in range(V):
            distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])


if __name__ == '__main__':
    for _ in range(12):
        v, u, w = list(map(int, input().split()))
        cost[v][u] = w
    s = int(input('请输入一个起始点：'))
    dijkstra(s)
    print(distance)

四、 源码分析

1. 数据结构：cost邻接矩阵存储的是图中边的信息；distance距离数组维护的是从源起点s到其他顶点的最短距离，是一个频繁变动的数据结构；used布尔数组标记了顶点有没有使用过，即used数组中值为True的顶点元素加入到了S中，值为False的顶点元素加入到了U中，最后所有顶点加入到S中即used的所有元素值为False。同时初始化是将cost所有边权重初始化为无穷大，float(‘inf’
2. 顶点编号为0,1,2…V-1，为了对包括起点在内的所有顶点统一处理，设置了一个哨兵v（初始化为-1），哨兵v代表每次筛选出来的要加入到S中的距离最小的顶点元素，同时，如果所有顶点都加入到S中后，v的值仍为-1，可以做为循环结束的标记！