快速幂运算

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本文介绍了一种高效计算A^BModC的方法——快速幂取模算法，通过将指数转换为二进制形式并利用位运算，将时间复杂度从O(n)降低至O(logn)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

/*
* 基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 0 难度：基础题收藏关注
给出3个正整数A B C，求A^B Mod C。
例如，3 5 8，3^5 Mod 8 = 3。
Input
3个正整数A B C，中间用空格分隔。(1 <= A,B,C <= 10^9)
Output
输出计算结果
Input示例
3 5 8
Output示例
3
* */


import java.util.Scanner;

public class Main {

    public static long powMod(long a,long b,long c){
        long res = 1;
        while(b>0){
            if((b&1)==1){
                res = ((res%c)*(a%c))%c;
            }
            b >>= 1;
            a = ((a%c)*(a%c))%c;
        }
        return res;
    }

    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        long a = in.nextLong();
        long b = in.nextLong();
        long c = in.nextLong();
        long res = powMod(a,b,c);
        System.out.println(res);
    }

}

求a^n，先不考虑是否会超出数据表示的精度范围，如果是用for(1:n)循环的话，时间复杂度为O(n)，若n值为10^9，往往在oj中就会超时。然而，n是可以用二进制表示的，n = 2^k1 + 2^k2 + 2^k3 + …+ 2^kn （共有log n项），令pi = 2 ^ ki，则n=p1+p2+…+pn，哪么a ^ n = a^p1 * a^p2 * a^p3*….*a^pn，哪么原先n项相乘就变为了log n项相乘，时间复杂度从O(n)转变为O(log n) 。

现在要求A^156,而156(10)=10011100(2)
也就有A^156=>(A^4)(A^8)(A^16)*(A^128) 考虑到因子间的联系，我们从二进制10011100中的最右端开始计算到最左端。细节就说到这，下面给核心代码：
res = 1;
while(N)
{
if(N&1)
res=res*A;
N>>=1;
A=A*A;//A是在变化的，每一位都是前一位乘以”A“
}