Codeforces 723E 欧拉回路

题意

传送门 Codeforces 723E One-Way Reform

题解

依次处理每一个连通分量。无向图中度数为奇数的点，在转化为有向图之后，不可能满足出度等于入度的条件；这样的点有偶数个，因为总度数为偶数。

将 $i,i+1,\cdots i+k$ 两两连边，即 $(i,i+1),(i+2,i+3)\cdots$，此时满足联通分量中所有点的度数为偶数，图中存在欧拉回路。沿着欧拉回路赋予边方向，则原图中度数为偶数的点满足条件，此时取到了答案可达的上界。总时间复杂度 $O(n+m)$。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
typedef long long ll;
const int MAXN = 2E5 + 5;
struct edge
{
    int to, rev;
    bool add, used;
};
vector<edge> G[MAXN];
vector<int> cc, odd, path, ban;
vector<pair<int, int>> res;
int T, N, M, deg[MAXN], iter[MAXN];
bool used[MAXN];

void dfs(int u)
{
    used[u] = 1;
    cc.pb(u);
    for (auto &e : G[u])
        if (!used[e.to])
            dfs(e.to);
}

void euler(int u, bool b)
{
    for (int &i = iter[u]; i < (int)G[u].size();)
    {
        while (i < (int)G[u].size() && G[u][i].used)
            ++i;
        if (i == (int)G[u].size())
            break;
        auto &e = G[u][i];
        G[e.to][e.rev].used = 1;
        ++i;
        euler(e.to, e.add);
    }
    path.pb(u);
    ban.pb(b);
}

void add_edge(int u, int v, bool add)
{
    G[u].pb({v, (int)G[v].size(), add, 0});
    G[v].pb({u, (int)G[u].size() - 1, add, 0});
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cin >> N >> M;
        res.clear();
        for (int i = 0; i < N; ++i)
        {
            deg[i] = iter[i] = used[i] = 0;
            G[i].clear();
        }
        for (int i = 0; i < M; ++i)
        {
            int u, v;
            cin >> u >> v;
            --u, --v;
            add_edge(u, v, 0);
            ++deg[u], ++deg[v];
        }
        int num = N;
        for (int i = 0; i < N; ++i)
        {
            if (used[i])
                continue;
            cc.clear(), odd.clear();
            path.clear(), ban.clear();
            dfs(i);
            for (auto &u : cc)
                if (deg[u] & 1)
                    odd.pb(u);
            num -= (int)odd.size();
            for (int j = 0; j < (int)odd.size(); j += 2)
                add_edge(odd[j], odd[j + 1], 1);
            euler(i, 0);
            for (int j = 0; j + 1 < (int)path.size(); ++j)
            {
                if (ban[j])
                    continue;
                res.pb({path[j + 1], path[j]});
            }
        }
        cout << num << '\n';
        for (auto &e : res)
            cout << e.first + 1 << ' ' << e.second + 1 << '\n';
    }
    return 0;
}