2019浙江省省赛 ZOJ 4101 Element Swapping 数学

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博客给出ZOJ - 4101题目链接，分享题解思路。赛场原用O(nlogn)算法超时，后化简Δx和Δy，相除得到ai + aj的sum，不整除则输出0，再O(n)枚举i并代入验证，时间复杂度为O(n)，还提醒注意特判和限制条件。

题目链接

https://vjudge.net/problem/ZOJ-4101

题解思路

赛场想的是 $O (n l o g n)$ 的算法，T了有20发

从头讲一下，就是化简一下 $\Delta$ $x$ 和 $\Delta$ $y$ 这里我设的是变化前减去变化后，我们可以把数组看做是初始的，给定的x和y是变化后的。

化简完：
$\Delta$ $x=(j-i)*(a_i-a_j)$
$\Delta$ $y=(j-i)*(a_i+a_j)*(a_i-a_j)$

相除得到 $a_i+a_j$ 的 $s u m$ ，如果不整除输出0

然后 $O (n)$ 枚举 $i$ ， $a j$ = $sum-a_i$ ，然后代入 $\Delta$ $x$ 的式子中验证是否满足 $aj=a_j$

时间复杂度： $O (n)$

注意特判和限制条件

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define ll long long
#define int ll
#define debug cout<<"fuck"<<endl;
#define pb  push_back
#define endl '\n'
const int mod=(int)1e9+7;
const int maxn=(int)1e5+5;
int n;
int a[maxn];
int x,y;
int xx,yy;
int delx,dely;
int cnt[maxn];
signed main()
{
    IOS
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        memset(cnt,0,sizeof(cnt));
        xx=0,yy=0;
        cin>>n>>x>>y;//原始的
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>a[i];
            cnt[a[i]]++;
            xx+=i*a[i];//交换一次后的
            yy+=i*a[i]*a[i];
        }
        delx=x-xx;
        dely=y-yy;
        //cout<<delx<<' '<<dely<<endl;
        if(delx==0&&dely==0)//相同值交换
        {
            //debug;
            int ans=0;
            for(int i=1;i<=1e5;i++)
            {
                if(cnt[i]>=2)
                {
                    ans+=cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;
                }
            }
            cout<<ans<<endl;
            continue;
        }
        else if(delx==0||dely==0||dely%delx!=0)
        {
            //debug
            cout<<0<<endl;
            continue;
        }
        int sum=dely/delx;//ai+aj
        //cout<<sum<<endl;
        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int aj=sum-a[i];
            if(aj<1||(aj-a[i]==0)||(delx%(aj-a[i]))!=0)
            {
                continue;
            }
            int j=delx/(a[i]-aj)+i;
            if(j>n||j<1)continue;
            //cout<<i<<' '<<aj<<' '<<j<<endl;
            if(aj==a[j])res++;
        }
        cout<<res/2<<endl;
    }
    return 0;
}