详解Bellman-Ford

一、Bellman-Ford算法：      为了能够求解边上带有负值的单源最短路径问题，Bellman(贝尔曼)和Ford(福特)提出了从源点逐次绕过其他顶点，以缩短到达终点的最短路径长度的方法。     Bellman-ford算法是求解连通带权图中单源最短路径的一种常用算法，它允许图中存在权值为负的边。 同时它还能够判断出图中是否存在一个权值之和为负的回路。如果存在的话，图中就不存在最短路径(因为，假设存在最短路径的话，那么我们只要将这条最短路径沿着权值为负的环路再绕一圈，那么这条最短路径的权值就会减少了，所以不存在最短的路径，因为路径的最小值为负无穷），如果不存在的话，那么求出源点到所有节点的最短路径。

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二、Bellman-Ford算法的限制条件：
  要求图中不能包含权值总和为负值回路(负权值回路)，如下图所示。



三、Bellman-Ford算法思想






四、图例



五：算法实现

static final int MAX=99999;
int Edge[][];	//图的邻接矩阵
int vexnum;	//顶点个数
  private void BellmanFord(int v) {//假定图的邻接矩阵和顶点个数已经读进来了
	int i, k, u;
	for(i=0; i< vexnum; i++){
	   dist[i]=Edge[v][i];	//对dist[]初始化
           if( i!=v && dis[i]< MAX ) path[i] = v;//对path[ ]初始化
	   else path[i] = -1;
	}
        //如果dist[]各元素的初值为MAX，则循环应该n-1次，即k的初值应该改成1。
  for(k=2; k< vexnum; k++){ //从dist(1)[u]递推出dist(2)[u], …,dist(n-1)[u]
	for(u=0; u< vexnum; u++){//修改每个顶点的dist[u]和path[u]
	  if( u != v )	{
       for(i=0; i< vexnum; i++){//考虑其他每个顶点
		if( Edge[i][u]< MAX &&dist[u]>dist[i]+Edge[i][u] ){
		   dist[u]=dist[i]+Edge[i][u];
		   path[u]=i;
		}
      }
     }
	}
   }
 }

五、Dijkstra算法与Bellman算法的区别
     Dijkstra算法和Bellman算法思想有很大的区别：
Dijkstra算法在求解过程中，源点到集合S内各顶点的最短路径一旦求出，则之后不变了，修改的仅仅是源点到T集合中各顶点的最短路径长度。

Bellman算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的dist[]，也就是说源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman算法结束才确定下来。

    如果存在从源点可达的负权值回路，则最短路径不存在，因为可以重复走这个回路，使得路径无穷小。在Bellman算法中判断是否存在从源点可达的负权值回路的方法：

for (i=0;i< n;i++){
  for (j=0;j< n;j++){
    if (Edge[i][j]< MAX && dist[j]>dist[i]+Edge[i][j])
          return false;//存在从源点可达的负权值回路
   }
 }
 return true;