字符串哈希

引例

题目描述

给定一个字符串 $A$ 和一个字符串 $B$，求 $B$ 在 $A$ 中的出现次数。$A$ 和 $B$ 中的字符均为英语大写字母或小写字母。

$A$ 中不同位置出现的 $B$ 可重叠。

输入格式

输入共两行，分别是字符串 $A$ 和字符串 $B$。

输出格式

输出一个整数，表示 $B$ 在 $A$ 中的出现次数。

样例输入

zyzyzyz
zyz

样例输出

3

数据范围与提示

$1\le A,B$ 的长度 $\le 10^6$，$A$、$B$ 仅包含大小写字母。

暴力求解思路

逐一枚举 $A$ 中的位置 $i$ 作为 $B$ 的起点，检查是否可以匹配，时间复杂度为 O(n²)，显然会超时。

一、进制

通过对各种进制的观察，我们不难发现：

• 任意一个 $R$ 进制的数，都可以看成是一个满足如下条件的字符串：
  • 每个位上都是 $[0,R-1]$ 之间的一个数字；
  • 两个字符串相等，当且仅当这两个字符串代表的 $R$ 进制数相等。
• 判断两个字符串相等，需要一层循环，是 O(n) 的，而判断两个数相等，是 O(1) 的。
• 所有英文字母的取值范围都在 128 以内，因此，每个英文字母均可以看成是一个 $R(R>=128)$ 进制数的基数值，任意一个字符串均可看作有一个或多个位的 $R$ 进制数。
  $$\begin{array}{rl}H("abcd")& =97\cdot R^3+98\cdot R^2+99\cdot R+100\\ H("ab")& =97\cdot R+98\\ H("cd")& =99\cdot R+100=H(abcd)-H(ab)\cdot R^2\end{array}$$

不难看出，在已知某个字符串的所有前缀的 $R$ 进制数值的前提下，计算任意一个子串的 $R$ 进制数值只需 O(1) 的时间（当然还需要预处理出 $R^i$ 的值）。

至此，对于上面的题目，我们可以：

1. 把 $B$ 转为一个 $R$ 进制数 $hb$，时间复杂度为 O(n)。
2. 逐一枚举 $A$ 中的位置 $i$，预处理出 $A$ 的前 $i$ 位构成的 $R$ 进制数的数值 $h[i]$，时间复杂度为 O(n)。
3. 逐一枚举 $A$ 中的位置 $i$，用 O(1) 的时间 $A$ 中从第 $i$ 个位开始的与 $B$ 相同的一个字符串对应的 $R$ 进制数 $ha$，检查是否满足 $hb==ha$。

按照这个思路，整个算法的时间复杂度就降到了 O(n)，可以通过了。

但是等等，这里好像有一个问题：由于 $R$ 是大于等于 128 的数，$R^i$ 很容易就会超出 $int$ 甚至 $longlong$ 的取值范围，我们根本无法存储。而如果采用大整数来运算及存储，就得不偿失了。

那该怎么办呢？

我们遇到了一个取值范围远大于表示范围的对应问题，就如同关键字与位置下标的对应问题，要将取值范围非常大的一组数（字符串的 $R$ 进制数值），尽量没有冲突地均匀存入一个空间有限的数组（基础变量类型的取值范围）中，这是标准的散列问题。

二、散列

设计这种散列函数一定要简单且快，通常采用经典的“除留余数法”，为了减少冲突，我们需要做 2 件事情：

• 要让余数的取值范围尽量大（采用最大的数据类型 unsigned long long，相当于模 2⁶⁴）。
• $R$ 选取一个大于 128 的素数，例如：131,13331 等等。

$$\begin{array}{rl}H("abcd")& =97\times 131^3+98\times 131^2+99\times 131+100\\ & =218064827+1681778+12969+100\\ & =219746605\end{array}$$
那么，上面为什么没有去模 2⁶⁴ 呢？因为 unsigned long long 本身恰好就是 64 位，它计算出来的结果本来就是只保留小于 2⁶⁴ 的部分，这称作自然溢出。

好啦！到此为止，我们就完成了真个算法设计，看看代码吧！

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
using ULL = unsigned long long;
const int N = 1e6 + 7, P = 131;
ULL sum[N], sa, pw[N];
char s[N];
int main() {
	scanf("%s", s + 1);
	pw[0] = 1;
	int len = strlen(s + 1);
	for (int i = 1; s[i]; ++i) {
		sum[i] = sum[i-1] * P + s[i];
		pw[i] = pw[i-1] * P;
	}
	scanf("%s", s + 1);
	int lena = strlen(s + 1), ans = 0;
	for (int i = 1; s[i]; ++i)
		sa = sa * P + s[i];
	for (int i = 1; i+lena-1 <= len; ++i) {
		ULL d = sum[i+lena-1] - sum[i-1]*pw[lena];
		if (d == sa) 
			++ans;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

三、遗留问题

我们都知道散列一定会出现冲突的，理论上一定存在两个不同字符串的散列值相同，对策有两条：

• 仅用散列判断两个字符串不同，即若两个字符串的散列值不同，那它们一定是两个不同的字符串。
• 当两个字符串的散列值相同时，可以采用以下两种策略之一：
  • 双哈希，即再用另一个素数计算以下散列，看看是否相同。
  • 直接用循环判断以下字符串是否相同。

四、拓展问题

在字符串匹配问题中，经常需要用判断一个串在另一个串中的匹配次数，例如下面的题目：

题目描述

给定若干个长度为 $\le 10^6$ 的由可见字符构成的字符串，询问每个字符串最多是由多少个相同的子字符串重复连接而成的。如：ababab 则最多有 $3$ 个 ab 连接而成。

输入格式

输入若干行，每行有一个字符串。特别的，字符串可能为 . 即一个半角句号，此时输入结束。

样例输入

abcd
aaaa
ababab
.

样例输出

1
4
3

数据范围与提示

字符串长度 $\le 10^6$。

枚举思路

直接枚举前缀子串的长度（长度显然是总长度的一个因子），检查是否能够重复覆盖整个字符串，时间复杂度为 $O(n^2)$。

有没有一种办法，可以直接判断出一个字符串 $a$ 是否可以通过重复连接构成另一个字符串 $b$ 呢？

仔细观察下图，长为 10 的字符串，abcdefgABCDEFG 都是 char 类型变量，各自代表对应位置的一个字符。

如果其前 $7$ 个字符构成的前缀与最后 $7$ 个字符构成的后缀能够匹配，即 abcdefg=ABCDEFG，是否就说明整个字符串可以用前 $3$ 个字符重复连接构成？

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
*	*	*	a	b	c	d	e	f	g
A	B	C	D	E	F	G

证明：
首先，对应位置的字符分别相等，即 abcd=DEFG
又由 abcdefg=ABCDEFG，可知 abc=ABC，
由此可得 abc=ABC=DEF=def，EFG=efg=bcd=bca，即该字符串为 abcabcabca，得证。