二分图与网络流算法-优快云博客

二分图
二分图没有奇环（无法进行黑白染色）
1.最大匹配
①匈牙利算法
贪心的从每个左部节点寻找交错路
dfs当前左部节点时，搜索右部节点，选择匹配。
②题目：
棋盘问题1：
棋盘本身就是一个二分图，进行黑白染色，白的和黑的连边，建图
棋盘放车：
把每行和每列看成一个点
如果第i行第j列放车，那么就进行连边
城堡问题：
有障碍物，就相当于把每一行每一列分成多行多列
（行连通块和列连通块）
2.最小覆盖
数值上和最大匹配相同
经典例题>o< T_T
POJ 1325 Machine Schedule
POJ 2226 Muddy Field
3.最大独立集
图的点数减去最小覆盖，也就是减去最大匹配（最大匹配真的好厉害( ⊙ o ⊙ )！！！）
棋盘放马
对棋盘进行黑白染色，
4.最小路径覆盖
有向无环图
不相交的路径覆盖所有点
节点数-最大匹配
把一个点拆成一个出点一个入点
hanoi
n根柱子，按编号从小到大放盘子

转化为有m个盘子，需要多少个柱子
若有m个盘子，刚好最少n根柱子满足，那么m-1个盘子可以放，m-2个也可以，但m+1不可以，可以二分求n
for(int i=1;i<=m;i++)
for i=i to m do
if(某个点为i的完全平方数)
连边
5.稳定婚姻问题
吼吼吼！！！>o< 好人呐>o< T_T
迭代
初始时所有♂都处于未匹配
每个♂都在每个未拒绝他的♀中寻找一个最喜欢的
每个♀在所有选择她的♂中找一个最喜欢的，选择
重复以上过程直到所有♂都找到♀
**♂先选对于♂是最优的

网络流
1.最大流最小割
首先说什么是流网络呢
流网络G是一个有向图，其中每条边都有一个非负容量
如果u到v没有边，则c(u,v)=0
源点s汇点t
源点没有入边，汇点没有出边
对于除了源点和汇点的每一条边来说，从某一个点出去的流量=流出的流量，并且每条边的流量小于等于边容量，源点流出的流量=汇点接收的流量
**最大流
最多可以从源点向汇点输送多少流量
介绍一个萌萌哒的概念喽，饱和边和非饱和边
f(i,j)=c(i,j)饱和边，否则非饱和边
**割
将G分为S和T两个点集使得s∈S&&t∈T
割的容量就是从S中的点到T的点的边的容量和（$$注意哦，从T到S的边不属于哦>o<）
割集的个数为2的n-1次方种
定理：
在流网络中，最小割的容量=最大流的流量
2.Dinic算法
复杂度上界m*n^2
但是网络流的时间一般远远低于上界
Dinic算法在二分图中有时效率和匈牙利算法差不多
找一条路，没流满，把他流满，再找，直到找不到没流满的路
如果向后边有流量，能流回来，那么一定存在向前边连通向后边，就可以退掉向后边的流量，通过另一条向前边增大流量。
我们可以给每一条边都建一条反向边，来避免判断方向
最小割的一组解
从源点走有余量的边dfs被dfs到的边都属于S集合
因为没有走到的边都是瓶颈，属于T集合
通过流量守恒原理我们可得到一个定理，最小流<=最小割
因为从S集合流向T集合的流量=S产生的流量-流入S的流量
从S到T的边一定是流满的边，从T到S的边一定是没有流量的边，所以存在一个割集=最大流
通过以上分析可推得最大流=最小割
**多源汇最大流：
锵锵锵$超级源点闪亮登场
**有上下界的网络流问题
http://www.cnblogs.com/kane0526/archive/2013/04/05/3001108.html
3.最小费用最大流
首先保证是最大流，再寻找代价最小的最大流（每条边的代价就是边的流量*权值）
每次都跑spfa求出最短路，然后求出当前最短路的最小容量，再接着在残存图中接着进行上述过程

树的分治
分治前提：
分为规模较小的问题可以很简单地解决，并且具有最优子结构，最优解可以合并，各个问题所分解出的子问题中所包含的重叠子问题很少（如果具有很多重叠子问题，直接用DP即可）
1.树链剖分
对于树上的路径的分治
BZOJ 2243
首先我们考虑给定一个序列，执行以下两个操作，该如何解决
修改 sum=1，lc=c,rc=c
合并 sum=l.sum+r.sum-(l.rc==r.lc)//看两个序列中间的颜色端是否相等
接下来，我们考虑树链剖分
树链剖分套线段树
见PPT
2.点分治
POJ 1740
见PPT
如何选根节点，选择一棵树的重心，使得最大的子树最小
点分治
①经过根节点求解
②不经过根节点（那么一定在子树中）
3.边分治