汉诺塔问题及变形HDU 1207、2064、2077

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1、经典汉诺塔问题

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汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
要求：

• 在小圆盘上不能放大圆盘
• 三根柱子之间互相可移动
• 一次只能移动一个圆盘

方法：（目标：A柱n个盘子移到C柱）

• A柱的n-1个盘子移到B柱
• A柱的第n个盘子移到C柱

• B柱的n-1个盘子移到C柱

  递归实现：

int ccount=1;
void mmove(char st,char ed){
    printf("第%d步：%c移至%c\n",ccount++,st,ed);
}
void H(int n,char st,char trans,char ed){ //使n个盘子从st移至ed，通过trans过渡
    if(n==1)    //n=1直接将st移至ed
        mmove(st,ed);
    else{
        H(n-1,st,ed,trans);//将st的n-1个盘子移至过渡trans
        mmove(st,ed);//把第n个盘子从st移至ed
        H(n-1,trans,st,ed);//再把trans的n-1个盘子移到ed上
    }
}

int main()
{
    int m;
    while(~scanf("%d",&m)){
        ccount=1;
        H(m,'a','b','c');
        printf("总共%d步\n",ccount-1);
    }
    return 0;
}

最优步数
f(n)=1,n==1
f(n)=2*f(n-1) + 1，n>1

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2、四柱汉诺塔 HDU1207

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Frame算法：
（1）用4柱汉诺塔算法把A柱上部分的n- r个碟子通过C柱和D柱移到B柱上【F( n- r )步】。
（2）用3柱汉诺塔经典算法把A柱上剩余的r个碟子通过C柱移到D柱上【2^r-1步】。
（3）用4柱汉诺塔算法把B柱上的n-r个碟子通过A柱和C柱移到D柱上【F(n-r)步】。
（4）依据上边规则求出所有r（1≤r≤n）情况下步数f(n)，取最小值得最终解。
因此Frame算法的递归方程如下：
F(n)=min(2*F(n-r)+2^r-1)，（1≤r≤n）。

实现

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    ll f[65],mmin;
    int n;
    f[1]=1;
    f[2]=3;
    for(int i=3;i<=64;i++){
        mmin=99999999;
        for(int j=1;j<i;j++)
            mmin=min(2*f[i-j]+pow(2,j)-1,mmin*1.0);
        f[i]=mmin;
    }
    while(~scanf("%d",&n)){
       cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

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2、汉诺塔III HDU2064

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要求：

• 不允许直接从最左(右)边移到最右(左)边(每次移动一定是移到中间杆或从中间移出)
• 不允许大盘放到下盘的上面

• 一次移动一个盘

  方法：（目标：A柱n个盘子移到C柱）

• A柱的n-1个盘子移到C柱，递归

• A柱的第n个盘子移到B柱
• C柱的n-1个盘子移到A柱，递归
• B柱的第n个盘子移到C柱

• A柱的n-1个盘子移到C柱，递归

  最优步数

f(n)=2,n==1
f(n)=3*f(n-1) + 2，n>1

实现

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define ll long long
using namespace std;
int main()
{
    ll f[36];
    int n;
    f[1]=2;
    for(int i=2;i<=35;i++)
        f[i]=3*f[i-1]+2;
    while(~scanf("%d",&n)){
       cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

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3、汉诺塔IV HDU2077

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要求：
在上一题的前提，加上一条：允许最大的盘子放到最上面

方法：（目标：A柱n个盘子移到C柱）
- A柱的n-1个盘子移到B柱
- A柱的第n个盘子移到B柱
- B柱的第n个盘子移到C柱
- B柱的n-1个盘子移到C柱

次数=2*A柱的n-1个盘子移到B柱+2=2*f(n)+2
A柱的n-1个盘子移到B柱=B柱的n-1个盘子移到C柱，它俩的次数相同，都是相邻两个柱子移动的次数。这个次数f(n)怎么求呢：
A->B移动n个盘子的步骤：

• A柱的n-1个盘子移到B柱，递归
• B柱的n-1个盘子移到C柱，递归
• A柱的第n个盘子移到B柱
• C柱的n-1个盘子移到B柱

所以，f(n)=2*f(n-1)+2
因此，次数ans=2*f(n)+2

实现

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <math.h>
#define ll long long
using namespace std;

int main()
{
    ll f[21];
    int n,m;
    cin>>m;
    f[0]=0;f[1]=1;
    for(int i=2;i<=19;i++)
        f[i]=3*f[i-1]+1;
    while(m--){
        cin>>n;
        cout<<2*f[n-1]+2<<endl;
    }
    return 0;
}