【区间dp】能量项链

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为 mrn （Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。
例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：(4⊕1)=10 * 2 * 3=60。这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3）=10 * 2 * 3+10 * 3 * 5+10 * 5 * 10=710

ps

题目真的又长又臭（题目背景），给的例子和样例可以读懂本题的样例输入和样例输出

输入

输入文件的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当1≤i＜N时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出

输出文件只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例输入

4
2 3 5 10

样例输出

710

思路

n颗珠子呈环形，可以用数组存储两倍n个数据，即a[n+1]存储a[1]。然后在遍历2*n大小的数组，枚举每一个子区间（注意区间长度小于n）状态转移方程为
dp[j][i]=max(dp[j][i],dp[j][k] +dp[k+1][i]+a[j]*a[k+1]*a[i+1]);

完整代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define PI acos(-1)
const int N=100010;
int a[210],dp[210][210],n,ans;
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]),a[i+n]=a[i];
    for(int i=1;i<n*2;i++)
    {
        for(int j=i-1;i-j<n&&j;j--)
        {
            for(int k=j;k<i;k++)
                dp[j][i]=max(dp[j][i],dp[j][k]+dp[k+1][i]+a[j]*a[k+1]*a[i+1]);
            ans=max(ans,dp[j][i]);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}