多元函数微分

csuzhucong

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文章标签：数学

于 2023-06-30 15:32:36 首次发布

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1，D的内点属于D，外点不属于D，边界点不定。内点是聚点，外点不是，边界点不定。

2，一元函数的极限定义在有领域的点，二元函数的极限定义在聚点

3，连续未必有偏导，有偏导未必连续

4，二阶偏导fxy和fyx不同，但若他们都连续，则他们相等

5，f(x,y)可微则连续且偏导存在且 $df=\frac{\delta f}{\delta x}dx+\frac{\delta f}{\delta y}dy$

6，若一阶偏导fx、fy在P的领域内有意义，在P连续，则f在P点可微

7，若f在P点可微，则P点任意方向的方向导数存在

8，梯度

多元函数梯度：

方向导数是梯度在L方向上的投影

梯度方向是f增长最快的方向

9，极值点处若存在偏导，则该点为驻点，即该点处的各偏导值为0

10，二阶偏导和极值

若z=f(x,y)在 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有连续的二阶偏导，且 $f_x=0,f_y=0$

则：（1）若 $f_{xy}^2<f_{xx}f_{yy}$ 则有极值， $f_{xx}<0$ 时有极大值， $f_{xx}>0$ 时有极小值。

（2）若 $f_{xy}^2>f_{xx}f_{yy}$ 则无极值

多元函数的二阶偏导用Hessian 矩阵表示：

11，泰勒公式

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